Símbolo de Kronecker

En teoría de números, el símbolo de Kronecker, escrito como $(\frac{a}{n})$ o (a|n), es una generalización del símbolo de Jacobi para todos los números enteros n. Fue introducido en 1885 por Leopold Kronecker.^[1]

Definición

Sea n un número entero distinto de cero, con una factorización en números primos

n = u {p_{1}}^{e_{1}} \dots {p_{k}}^{e_{k}},

donde u es una unidad (i.e., u es 1 o −1), y los p_i son números primos. Sea a un entero. El símbolo de Kronecker (a|n) se define como:

(\frac{a}{n}) = (\frac{a}{u}) \prod_{i = 1}^{k} {(\frac{a}{p_{i}})}^{e_{i}} .

Para números impares p_i, el (a|p_i) se reduce simplemente al símbolo de Legendre. Queda el caso en el que p_i = 2. Se define (a|2) por

(\frac{a}{2}) = {\begin{matrix} 0 & si a es par, \\ 1 & si a \equiv \pm 1 (\mod 8), \\ - 1 & si a \equiv \pm 3 (\mod 8) . \end{matrix}

Puesto que extiende el símbolo de Jacobi, la cantidad (a|u) es simplemente 1 cuando u = 1. Cuando u = −1, se define éste por

(\frac{a}{- 1}) = {\begin{matrix} - 1 & si a < 0, \\ 1 & si a \geq 0 . \end{matrix}

Finalmente, tenemos que

(\frac{a}{0}) = {\begin{matrix} 1 & si a = \pm 1, \\ 0 & de otra manera. \end{matrix}

Estas extensiones son suficientes para definir el símbolo de Kronecker para todos los valores enteros n.

↑ Kronecker, L. (1885), Zur Theorie der elliptischen Funktionen, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 761–784, pag. 770.