Señal analítica

La señal analítica de Gabor correspondiente a una señal temporal real, es una señal compleja cuyo espectro de frecuencias es nulo para frecuencias negativas, y cuya parte real es igual a la señal original.

Definición

La señal analítica $x_a(t)$ se construye a partir de una señal real.

Sea $x(t)$ una señal real cuya transformada de Fourier es $X(\omega )$. Construyamos ahora la siguiente función:

$X_a(\omega )=\{\begin{array}{cc}2X(\omega )& \text{si}\omega >0\\ X(\omega )& \text{si}\omega =0\\ 0& \text{si}\omega <0\end{array}$

La señal analítica correspondiente a $x(t)$ es la transformada de Fourier inversa de $X_a(\omega )$:

$x_a(t)={ℱ}^{-1}\{X_a(\omega )\}$

Construcción alternativa

La señal analítica se puede construir también a partir de la transformada de Hilbert de $x(t)$.

Sea $x_h(t)=\mathscr{H}\{x(t)\}$ la transformada de Hilbert de $x(t)$. Ahora podemos construir la señal analítica de la siguiente manera:

$x_a(t)=x(t)+i{x}_h(t)$

donde «i» es la unidad imaginaria.

Propiedades

La primera propiedad evidente de la señal analítica $x_a(t)$ es que su parte real es igual a la señal correspondiente:

$\mathrm{Re}\{x_a(t)\}=x(t)$

Aplicación

La señal analítica de Gabor permite separar una señal temporal en sus componentes de amplitud y fase instantáneas. Es decir, para cada tiempo $t$, podremos calcular una función $A(t)$ y una función $\varphi (t)$ tales que

$x(t)=A(t)\cos (\varphi (t))$

Para esto basta calcular

$A(t)=\sqrt{\mathrm{Re}\{x_a(t){\}}^2+\mathrm{Im}\{x_a(t){\}}^2}$

y

$\varphi (t)=\arg (x_a(t))$

donde arg es el argumento de un número complejo.