Función trigamma

Trigamma function ${\psi }_1(z)$ in the complex plane. The color of a point $z$ encodes the value of ${\psi }_1(z)$. Strong colors denote values close to zero and hue encodes the value's argument.

En matemática, la función trigamma, denotada mediante ψ₁(z), es la segunda de las funciones poligamma, y es definida mediante

${\psi }_1(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$.

Se observa de esta definición que

${\psi }_1(z)=\frac{d}{dz}\psi (z)$

donde ψ(z) es la función digamma. Se puede definir también como la suma de la serie

${\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^2},$

haciéndola un caso especial de la función zeta de Hurwitz

${\psi }_1(z)=\zeta (2,z).\frac{}{}$

Nótese que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1-z no es un número natural.

Representaciones

Una representación, en forma de integral doble, como una alternativa a una de las dadas arriba, puede ser derivada de la representación en forma de serie:

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{x^{z-1}y}{1-x}dxdy$

usando la fórmula de la suma de la serie geométrica. Integrando por partes se obtiente:

${\psi }_1(z)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}dx$

Una expansión asintótica en términos de los números de Bernoulli es

${\psi }_1(1+z)=\frac{1}{z}-\frac{1}{2z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}$.

Fórmulas de recurrencia y reflexión

La función trigamma satisface la siguiente relación de recurrencia:

${\psi }_1(z+1)={\psi }_1(z)-\frac{1}{z^2}$

y la fórmula de reflexión:

${\psi }_1(1-z)+{\psi }_1(z)={\pi }^2{\csc }^2(\pi z).$

Valores especiales

La función trigamma tiene los siguientes valores especiales:

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8K$

${\psi }_1\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{2}$

${\psi }_1(1)=\frac{{\pi }^2}{6}$

donde K representa la constante de Catalan.

Véase también

• Función gamma
• Función digamma
• Función poligamma
• Constante de Catalan

Referencias

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See section §6.4
• Plantilla:MathWorld