Signo de una permutación

Definición

Para cada permutación $\sigma$ dentro del grupo de permutaciones $S_n$, el signo de $\sigma$, notado usualmente como $\epsilon (\sigma )$, se define por:

$\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{\nu (\sigma )}=\det \phi (\sigma ),\mathrm{\forall }\sigma \in S_n,$

siendo $\nu (\sigma )$ el número de trasposiciones de una descomposición cualquiera de $\sigma$ en producto de trasposiciones, es decir, la paridad de $\sigma$. De otro lado, $\phi :S_n\to \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℝ)$ es la aplicación que a cada permutación asocia la matriz $\sigma (Id)$ que se obtiene permutando las filas de la matriz identidad según indica $\sigma$.

Nota

• La aplicación $\epsilon :S_n\to \{-1,1\}$ es un homomorfismo de grupos entre $(S_n,*)\text{~y~}(\{-1,1\},\cdot )$, siendo $*$ la operación de composición usual y $\cdot$ el producto convencional.

Véase también

► Paridad de una permutación (criterio equivalente)

Plantilla:Control de autoridades