Índice (teoría de grupos)

Plantilla:Referencias En álgebra abstracta (específicamente en teoría de grupos), el índice de un subgrupo H en un grupo G se refiere al número de clases laterales en que un subgrupo H particiona a G.

Introducción

Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G, denotadas por ${\sim }_H$ (equivalencia por la izquierda) y ${}_H\sim$ (equivalencia por la derecha). Se definen como:

• $\mathrm{\forall }x,y\in G:$

  $x{\sim }_{H}y⟺\mathrm{\exists }h\in H:y=xh⟺x^{-1}y\in H$

  $x{}_H\sim y⟺\mathrm{\exists }h\in H:y=hx⟺y{x}^{-1}\in H$

Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como $gH$ en el caso de ${\sim }_H$, o bien como $Hg$ para ${}_H\sim$. Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G. Es decir:

• $G:H:=G/{\sim }_H=\{gH:g\in G\}$

• $H:G:=G/{}_H\sim =\{Hg:g\in G\}$

Definición

Sea G un grupo y sea $H\subseteq G$ un subgrupo de G. Al cardinal

$i(H,G):=|H:G|=|G:H|$

se le denomina índice de H en G. Otras notaciones frecuentes para $i(H,G)$ son $i_G(H)$ o también $[G:H]$.

En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:

$i(H,G)=|G|/|H|$

donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.