Función simétrica monomial

Las funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.

Definición

Si $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ es una partición, se construye el monomio Plantilla:Ecuación

La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de $\lambda$, da como resultado un polinomio simétrico denotado $m_{\lambda }$. Plantilla:Definición

Ejemplos

Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son:

• $m_{\mathrm{\varnothing }}=1$.
• $m_1=x_1+x_2+x_3+x_4$.
• $m_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$.
• $m_{11}=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4$.
• $m_3=x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3$.
• $m_{21}=x_1^2{x}_2+x_2^2{x}_1^1+x_1^2{x}_3+x_3^2{x}_1+x_1^2{x}_4+x_4^2{x}_1+x_2^2{x}_3+x_3^2{x}_2+x_2^2{x}_4+x_4^2{x}_2+x_3^2{x}_4+x_4^2{x}_3$.

Obsérvese que en $m_{11}$ sólo aparece $x_1{x}_3$ y no $x_3{x}_1$, porque ambas corresponden a la misma permutación $(1010)$ de la partición $(1100)$. En particular, se consideran todas las particiones de un entero $n$ como si tuvieran $n$ partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.

Propiedades

Cualquier función simétrica en n variables Plantilla:Ecuación puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como Plantilla:Ecuación por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n Plantilla:Ecuación forma una base del espacio vectorial ${\mathrm{\Lambda }}_n$ de funciones simétricas en n variables.

Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema. Plantilla:Teorema