Serie de Bell

En matemática, una serie de Bell es una serie de potencias formal utilizada para estudiar la propiedades de funciones aritméticas. Las series de Bell fueron introducidas y desarrolladas por Eric Temple Bell.

Dada una función aritmética $f$ y un número primo $p$, se define la serie de potencias formal $f_p(x)$, llamada serie de Bell de $f$ módulo $p$ como:

$f_p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(p^n)x^n.$

Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se llama teorema de unicidad. Dadas las funciones mutiplicativas $f$ y $g$, se tiene que $f=g$ si y sólo si:

$f_p(x)=g_p(x)$ para todos los primos $p$.

Dos series pueden ser multiplicadas (a veces llamado como teorema de multiplicación): Para dos funciones aritméticas cualesquiera $f$ y $g$, sea $h=f*g$ su convolución de Dirichlet. Entonces, para cada primo $p$, se tiene que:

$h_p(x)=f_p(x)g_p(x).$

En particular, esto convierte en trivial el encontrar la serie de Bell de una inversa de Dirichlet.

Si $f$ es completamente multiplicativa, entonces:

$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Ejemplos

A continuación se muestran las series de Bell de funciones aritmética muy conocidas.

• La función de Möbius $\mu$ tiene ${\mu }_p(x)=1-x.$
• Función φ de Euler $\phi$ tiene ${\phi }_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• La identidad multiplicativa de la convolución de Dirichlet $\delta$ tiene ${\delta }_p(x)=1.$
• La función de Liouville $\lambda$ tiene ${\lambda }_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• La función potencia Id_k tiene $({\text{Id}}_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-p^{k}x}.$ Aquí, Id_k es la función completamente multiplicativa ${\mathrm{Id}}_k(n)=n^k$.
• La función divisor ${\sigma }_k$ tiene $({\sigma }_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k)x+p^k{x}^2}.$

Referencias

• Plantilla:Obra citada