Teorema de Varignon
El teorema de Varignon es un resultado de geometría euclidiana debido al geómetra francés Pierre Varignon, publicado en 1731, y que establece: Plantilla:Teorema
Al paralelogramo descrito en el teorema se le conoce como paralelogramo de Varignon.
Paralelogramo de Varignon
Adicionalmente, al tener un área igual a la mitad del cuadrilátero asociado, el paralelogramo de Varignon satisface otras propiedades.
- El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las longitudes de las diagonales del cuadrilátero.
- El paralelogramo de Varignon es un rombo si y solo si las diagonales del cuadrilátero tienen la misma longitud.
- El paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y solo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares.
Como consecuencia:
- El paralelogramo de Varignon es un cuadrado si y solo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares y tienen la misma longitud.
Generalizaciones
Una forma de generalizar el teorema de Varignon es considerar polígonos de más de cuatro lados. Desafortunadamente, el polígono obtenido al unir los puntos medios de un polígono (denominado polígono derivado) no tendrá usualmente lados paralelos ni iguales. Sin embargo: Plantilla:Teorema
El teorema también se puede generalizar a cuadriláteros que no sean planos (por ejemplo, en el espacio o en dimensiones mayores), y aunque es posible modificar la prueba euclidiana para el caso espacial, se puede dar una demostración vectorial para cubrir el caso de dimensiones mayores.
Finalmente, considerando un octaedro como una generalización de cuadriláteros al espacio, y tomando los centroides de las caras como equivalentes a los puntos medios de los lados, es posible demostrar que los centroides de las ocho caras forman siempre un paralelepípedo.