Modelo de la varilla elástica

Una ilustración del modelo, con vectores tangentes de posición y unidad.

El modelo de la varilla elástica (MVE) en la física de polímeros es usado para describir el comportamiento de los polímeros semi- flexibles; es también conocido como el modelo de Kratky-Porod, en honor a sus inventores: Otto Kratky & Günther Porod en 1949.

Consideraciones teóricas

El MVE describe una varilla isotrópica que es continuamente flexible, esto contrasta con el Modelo de cadena libremente conectada (freely-jointed chain ) que es únicamente flexible en segmentos discretos. El Modelo de la varilla elástica es particularmente usado para describir polímeros rígidos, con segmentos sucesivos que muestran una especie de cooperación mutua: todos apuntando en aproximadamente la misma dirección. A temperatura ambiente, el polímero adopta una forma de conjunto suavemente curvado; a temperatura $T=0$ K , el polímero adopta una forma de varilla rígida.

Para un polímero de longitud $l$, definimos la trayectoria del polímero como$s\in (0,l)$ , entonces$\hat{t}(s)$pasa a ser el vector unitario tangencial a la cadena en $s$, y $\overrightarrow{r}(s)$ es el vector posición a lo largo de la cadena. Entonces:

$\hat{t}(s)\equiv \frac{\partial \overrightarrow{r}(s)}{\partial s}$ Y la distancia extremo a extremo $\overrightarrow{R}=\underset{0}{\overset{l}{\int }}\hat{t}(s)ds$.

Puede ocurrir que la orientación de la “función de correlación” para un modelo de varilla elástica siga un decaimiento exponencial.

$⟨\hat{t}(s)\cdot \hat{t}(0)⟩=⟨\cos \theta (s)⟩=e^{-s/P}$,

Donde $P$ es por definición la característica de persistencia del polímero. Un valor útil es la medida del cuadrado de la distancia extremo a extremo del polímero

$\begin{array}{ccc}⟨R^2⟩& =& ⟨\overrightarrow{R}\cdot \overrightarrow{R}⟩\\ \\ & =& ⟨\underset{0}{\overset{l}{\int }}\hat{t}(s)ds\cdot \underset{0}{\overset{l}{\int }}\hat{t}(s^{\prime })d{s}^{\prime }⟩\\ \\ & =& \underset{0}{\overset{l}{\int }}ds\underset{0}{\overset{l}{\int }}⟨\hat{t}(s)\cdot \hat{t}(s^{\prime })⟩d{s}^{\prime }\\ \\ & =& \underset{0}{\overset{l}{\int }}ds\underset{0}{\overset{l}{\int }}{e}^{-|s-s^{\prime }|/P}d{s}^{\prime }\\ \\ ⟨R^2⟩& =& 2Pl[1-\frac{P}{l}(1-e^{-l/P})]\end{array}$

• Note que cuando $l>>P$, entonces $⟨R^2⟩=2Pl$ . Esto puede ser utilizado para mostrar que un “segmento de Kuhn”(Kuhn segment) es igual al doble de la persistencia de un Modelo de varilla elástica.

Relevancia biológica

Varios importantes bio-polímeros pueden ser adecuadamente modelados con un Modelo de varilla elástica, por ejemplo:

• Doble hélice de ADN y ARN.
• ARN no estructurado.
• Polipéptidos no estructurados (proteínas).

Estiramiento de Polímeros con Modelo de varilla elástica

Instrumentos de laboratorio como el microscopio de fuerza atómica (AFM) y las pinzas ópticas son utilizados para simular la fuerza del comportamiento estirado de los polímero anteriormente mencionados. Una fórmula de interpolación que describe el alargamiento $x$ de un polímero MVE con perímetro de longitud $L_0$ y persistencia $P$ en reacción a una fuerza de estiramiento $F$ es:

$\frac{FP}{k_{B}T}=\frac{1}{4}{(1-\frac{x}{L_0})}^{-2}-\frac{1}{4}+\frac{x}{L_0}$

Donde $k_B$ es la constante de Boltzmann y $T$es la temperatura absoluta (Bustamante, et al., 1994; Marko et al., 1995). En el caso particular cuando se estira el ADN en un amortiguador fisiológico (cerca del pH neutro, y fuerza iónica de aproximadamente 100mM) a temperatura ambiente el encogimiento del ADN alrededor de su perímetro está representado por, esté encogimiento entálpico, sumando una constante de estiramiento $K_0$ a la ecuación anterior:

$\frac{FP}{k_{B}T}=\frac{1}{4}{(1-\frac{x}{L_0}+\frac{F}{K_0})}^{-2}-\frac{1}{4}+\frac{x}{L_0}-\frac{F}{K_0}$

Donde un valor típico para la constante de estiramiento del ADN de doble hélice es alrededor de 1000 pN y 45 nm para la persistencia(Wang, et al., 1997).

Referencias

• O. Kratky, G. Porod (1949), "Röntgenuntersuchung gelöster Fadenmoleküle." Rec. Trav. Chim. Pays-Bas. 68: 1106-1123.
• J. F. Marko, E. D. Siggia (1995), "Stretching DNA." Macromolecules, 28: p. 8759.
• C. Bustamante, J. F. Marko, E. D. Siggia, and S. Smith (1994), "Entropic elasticity of lambda-phage DNA." Science, 265: 1599-1600. PMID 8079175
• M. D. Wang, H. Yin, R. Landick, J. Gelles, and S. M. Block (1997), "Stretching DNA with optical tweezers." Biophys. J., 72:1335-1346. PMID 9138579
• C. Bouchiat et al., "Estimating the Persistence Length of a Worm-Like Chain Molecule from Force-Extension Measurements", Biophys J, January 1999, p. 409-413, Vol. 76, No. 1