Grafo de la amistad

Grafos de la amistad F₂, F₃ y F₄.

En el campo matemático de la teoría de grafos, el grafo de la amistad F_n también llamado grafo molino de viento holandés, grafo ventilador o grafo n-fan es un grafo plano con 2n+1 vértices y 3n aristas.

El grafo de la amistad F_n puede ser formado construyendo n copias del ciclo C₃ con un vértice común. Por construcción, el grafo de la amistad F_n es isomorfo al grafo molino de viento Wd(3,n). Y el grafo F₂ es isomorfo al grafo mariposa

Teorema de la amistad

El teorema de la amistad de Paul Erdős, Alfréd Rényi, y Vera T. Sós de 1966 establece que los grafos finitos con la propiedad que cada dos vértices tengan exactamente un vecino en común son los grafos de la amistad. Informalmente, si un grupo de personas tiene la propiedad que cada par de ellos tienen exactamente un amigo en común, entonces debe haber una persona que sea amigo con todos los demás. Sin embargo, para grafos infinitos, pueden haber diferentes grafos con la misma cardinalidad que cumplan la propiedad.

Coloración

El grafo de la amistad tiene número cromático 3 e índice cromático 2n. Su polinomio cromático puede ser deducido del polinomio cromático del ciclo C₃ y es igual a $(x-2{)}^n(x-1{)}^{n}x$.

Teoría de grafos extrema

De acuerdo con la teoría de grafos extrema, cada grafo con un número suficientemente grande de aristas en comparación con el número de vértices, debe contener un grafo k-fan. Más específicamente, esto es cierto para un grafo de orden n si el número de aristas es

$\lfloor \frac{n^2}{4}\rfloor +f(k),$

donde f(k) es k² − k si k es impar, y f(k) es k² − 3k/2 si k es par.

Referencias

Plantilla:Control de autoridades