Modelo Tobit

El modelo Tobit es un modelo estadístico propuesto por James Tobin (1958) para describir la relación entre una variable dependiente no negativa $y_i$ y una variable independiente (o vector ) $x_i$. El término Tobit fue derivado del nombre truncando de Tobin y añadiendo, por analogía, el it como en el modelo probit o en el modelo logit.

El modelo supone que existe una variable latente (no observable por ejemplo) $y_i^{*}$. Esta variable depende linealmente de $x_i$ a través de un parámetro(vector) $\beta$ que determina la relación entre la variable independiente (o vector) $x_i$ y la variable latente $y_i^{*}$ (Tal como en un modelo lineal). Además, hay un término de error $u_i$ con una distribución normal para captar las influencias aleatorias en esta relación. La variable observable $y_i$ se define como igual a la variable latente cuando la variable latente es superior a cero y cero en caso contrario.

$y_i=\{\begin{array}{cc}{y}_i^{*}& \text{si}{y}_i^{*}>0\\ 0& \text{si}{y}_i^{*}\le 0\end{array}$

donde $y_i^{*}$ es una variable latente:

$y_i^{*}=\beta x_i+u_i,u_i\sim N(0,{\sigma }^2)$

La consistencia

Si el parámetro de relación $\beta$ se estima mediante una regresión de lo observado $y_i$ en $x_i$, el resultado obtenido usando el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es inconsistente. Esto dará lugar a una estimación a la baja de polarización del coeficiente de la pendiente hacia arriba y una estimación sesgada de la intersección. Takeshi Amemiya (1973) ha demostrado que el estimador de máxima verosimilitud propuesto por Tobin para este modelo es consistente.

Interpretación

La $\beta$ del coeficiente no debe interpretarse como el efecto de los $x_i$ en $y_i$, como uno haría con un modelo de regresión lineal , lo que es un error común. En su lugar, debe interpretarse como la combinación de (1) el cambio en $y_i$ de aquellos por encima del límite, ponderados por la probabilidad de estar por encima del límite, y (2) el cambio en la probabilidad de estar por encima del límite, ponderado por el valor esperado de $y_i$ si es superior.

Variaciones del modelo Tobit

Las variaciones del modelo Tobit pueden ser producidas mediante el cambio de dónde y cuándo se produce la censura. Amemiya (1985) clasifica estas variaciones en cinco categorías (Tobit tipo I - Tobit tipo V), donde Tobit tipo I representa el primer modelo descrito anteriormente. Schnedler (2005) proporciona una fórmula general para obtener estimadores consistentes de probabilidad para estas y otras variaciones del modelo Tobit.

Tipo I

El modelo Tobit es un caso especial de un modelo de regresión censurada , ya que la variable latente $y_i^{*}$ no puede siempre ser observada mientras que la variable independiente $x_i$ es observable. Una variante común del modelo Tobit está censurando a un valor $y_L$ diferente de cero:

$y_i=\{\begin{array}{cc}{y}_i^{*}& \text{si}{y}_i^{*}>y_L\\ y_L& \text{si}{y}_i^{*}\le y_L.\end{array}$

Otro ejemplo es la censura de los valores anteriores $y_U$.

$y_i=\{\begin{array}{cc}{y}_i^{*}& \text{si}{y}_i^{*}<y_U\\ y_U& \text{si}{y}_i^{*}\ge y_U.\end{array}$

Sin embargo, otro modelo resulta cuando $y_i$ se censura desde arriba y abajo al mismo tiempo.

$y_i=\{\begin{array}{cc}{y}_i^{*}& \text{si}{y}_L<y_i^{*}<y_U\\ y_L& \text{si}{y}_i^{*}\le y_L\\ y_U& \text{si}{y}_i^{*}\ge y_U.\end{array}$

El resto de los modelos se presenta como estando limitada desde abajo a 0, aunque esto se puede generalizar como lo hemos hecho en Tipo I.

Tipo II

Tipo II modelos Tobit introducir una variable latente segundo.

$y_{2i}=\{\begin{array}{cc}{y}_{2i}^{*}& \text{si}{y}_{1i}^{*}>0\\ 0& \text{si}{y}_{1i}^{*}\le 0.\end{array}$

Heckman (1987) cae en el tipo II Tobit. En el tipo Tobit I, la variable latente absorbe tanto el proceso de participación y los "resultados" de interés. En el Tipo Tobit II permite que el proceso de participación / selección y el proceso de "resultado" sean independientes, condicionado a x.

Tipo III

Tipo III introduce una segunda variable dependiente observada

$y_{1i}=\{\begin{array}{cc}{y}_{1i}^{*}& \text{si}{y}_{1i}^{*}>0\\ 0& \text{si}{y}_{1i}^{*}\le 0.\end{array}$

$y_{2i}=\{\begin{array}{cc}{y}_{2i}^{*}& \text{si}{y}_{1i}^{*}>0\\ 0& \text{si}{y}_{1i}^{*}\le 0.\end{array}$

El modelo Heckman cae en este tipo.

Tipo IV

Tipo IV introduce tercera variable observada dependiente y una variable latente tercero.

$y_{1i}=\{\begin{array}{cc}{y}_{1i}^{*}& \text{si}{y}_{1i}^{*}>0\\ 0& \text{si}{y}_{1i}^{*}\le 0.\end{array}$

$y_{2i}=\{\begin{array}{cc}{y}_{2i}^{*}& \text{si}{y}_{1i}^{*}>0\\ 0& \text{si}{y}_{1i}^{*}\le 0.\end{array}$

$y_{3i}=\{\begin{array}{cc}{y}_{3i}^{*}& \text{si}{y}_{1i}^{*}>0\\ 0& \text{si}{y}_{1i}^{*}\le 0.\end{array}$

Tipo V

Semejante al II, Tipo V, solo observar el signo de $y_{1i}^{*}$.

$y_{2i}=\{\begin{array}{cc}{y}_{2i}^{*}& \text{si}{y}_{1i}^{*}>0\\ 0& \text{si}{y}_{1i}^{*}\le 0.\end{array}$

$y_{3i}=\{\begin{array}{cc}{y}_{3i}^{*}& \text{si}{y}_{1i}^{*}>0\\ 0& \text{si}{y}_{1i}^{*}\le 0.\end{array}$

La función de verosimilitud

A continuación se presentan la Función de verosimilitud y las funciones de registro de probabilidad para un tipo que Tobit. Este es un Tobit censurado desde abajo en $y_L$ cuando la variable latente $y_j^{*}\le y_L$. Al escribir la función de verosimilitud, primero definimos una función indicadora $I(y_j)$ donde:

$I(y_j)=\{\begin{array}{cc}0& \text{si}{y}_j=y_L\\ 1& \text{si}{y}_j\ne y_L.\end{array}$

A continuación, nos referimos $\mathrm{\Phi }$ a ser el normal estándar función de distribución acumulativa y $\varphi$ a ser el normal estándar función de densidad de probabilidad . Para un conjunto de datos con n observaciones de la función de verosimilitud para un tipo que Tobit es:

$ℒ(\beta ,\sigma )=\prod _{j=1}^N{\left(\frac{1}{\sigma }\varphi \left(\frac{Y_j-X_j\beta }{\sigma }\right)\right)}^{I\left(y_j\right)}{(1-\mathrm{\Phi }\left(\frac{X_j\beta -y_L}{\sigma }\right))}^{1-I\left(y_j\right)}$

y la probabilidad de registro está dada por

$\log ℒ(\beta ,\sigma )=\sum _{j=1}^{n}I(y_j)\log \left(\frac{1}{\sigma }\phi \left(\frac{y_j-X_j\beta }{\sigma }\right)\right)+(1-I(y_j))\log (1-\mathrm{\Phi }\left(\frac{X_j\beta -y_L}{\sigma }\right))$

Tenga en cuenta que esto es diferente de la función de verosimilitud del modelo de regresión truncada.

Versión no paramétrica

Si la variable subyacente latente $y_i^{*}$ no se distribuye normalmente, se deben usar cuantiles en lugar de momentos para analizar la variable observable $y_i$. El estimador CLAD de Powell ofrece una forma posible de lograr esto.

Bibliografía adicional

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