Material de Mooney-Rivlin

En mecánica de sólidos, un material del Mooney–Rivlin^[1]^[2] es un tipo de material hiperelástico modelizable mediante una función densidad de energía de deformación $W$ que es una combinación lineal de dos invariantes algebraicos del tensor tensor deformación de Cauchy-Green izquierdo $𝑩$ . El modelo de Mooney-Rivlin fue propuesto inicialmente por Melvin Mooney en 1940 y fue reformulado en términos de invariantes algebraicos por Ronald Rivlin en 1948.

La función densidad de energía de deformación para un material de Mooney-Rivlin incompresible viene dada por:^[3]^[4] Plantilla:Ecuación donde $C_{1}$ y $C_{2}$ son constantes que se determinan empíricamente para cada material concreto y ${\overline{I}}_{1}$ y ${\overline{I}}_{2}$ son el primer invariante (invariante lineal) y segundo invariante (invariante cuadrático) del componente unimodular del tensor de Cauchy-Green:^[5] Plantilla:Ecuación donde $𝑭$ es el gradiente de deformación. Para un material incompresible, $J = 1$ .

Derivación

El material de Mooney-Rivlin es un caso especial de "material de Rivlin generalizado" (también llamado modelo hiperelástico polinómico^[6]) que tiene la forma: Plantilla:Ecuación con $C_{00} = 0$ donde $C_{p q}$ son constantes materiales relacionadas con la respuesta frente a distorsión o cambio de forma y $D_{m}$ son las constantes elásticas relacionadas con el cambio de volumen. Para un material compresible de Mooney-Rivlin $N = 1, C_{01} = C_{2}, C_{11} = 0, C_{10} = C_{1}, M = 1$ y se tiene: Plantilla:Ecuación Si $C_{01} = 0$ se obtiene un material neohookeano, un caso especial de material de Mooney-Rivlin. Por consistencia con la elasticidad lineal en el límite de las pequeñas deformaciones, es necesario que se satisfaga la condición: Plantilla:Ecuación donde $κ$ es el módulo de compresibilidad y $μ$ es el módulo de elasticidad transversal.

Tensor de tensiones de Cauchy e invariantes de deformación

El tensor de tensiones de Cauchy de un material hiperelástico compresible que posee un estado natural (sin tensión) viene dado por: Plantilla:Ecuación Para un material de Mooney-Rivlin compresible, Plantilla:Ecuación Por tanto, el tensor de tensiones de Cauchy de un material de Mooney–Rivlin compresible viene dado por: Plantilla:Ecuación A partir de lo anterior puede demostrarse, que la presión viene dada por Plantilla:Ecuación La tensión puede expresarse en la forma Plantilla:Ecuación La anterior ecuación se escribe frecuentemente como: Plantilla:Ecuación donde:

\bar{𝑩} = J^{- 2 / 3} 𝑩

Para un material de Mooney-Rivlin incompresible con $J = 1$ Plantilla:Ecuación Nótese que si $J = 1$ entonces: Plantilla:Ecuación Entonces, del teorema de Cayley-Hamilton se sigue que: Plantilla:Ecuación De ahí se tiene que el tensor de tensiones de Cauchy puede expresarse también como: Plantilla:Ecuación donde $p^{*} : = \frac{2}{3} (C_{1} I_{1} - C_{2} I_{2}) .$

Tensión de en términos de alargamientos principales

En términos de los alargamientos principales, el tensor de tensiones de Cauchy para un material hiperelástico incompresible viene dada por: Plantilla:Ecuación para un material de Mooney-Rivlin incompresible: Plantilla:Ecuación Por tanto, Plantilla:Ecuación Puesto que $λ_{1} λ_{2} λ_{3} = 1$ , se puede escribir como: Plantilla:Ecuación Entonces las expresiones para el tensor de tensiones de Cauchy se expresan como: Plantilla:Ecuación

Caucho

La respuesta elástica de materiales de tipo goma o caucho se modeliza frecuentemente como un material de Mooney—Rivlin model. Las constantes $C_{1}, C_{2}$ se determinan experimentalmente ajustando los datos experimentales mediante las ecuaciones anteriores. Los ensayos recomendados son el ensayo uniaxial de tracción, la compresión y tracción equibiaxiales, la compresión uniaxial, y para la respuesta de cortante la tracción y compresión planas. Los dos parámetros del modelo de Mooney–Rivlin proporcionan respuestas adecuadas para deformaciones inferiores al 100%.

Véase también

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover, ISBN 0-486-44241-1, 1980.

Plantilla:Control de autoridades

↑ Mooney, M., 1940, A theory of large elastic deformation, Journal of Applied Physics, 11(9), pp. 582-592.
↑ Rivlin, R. S., 1948, Large elastic deformations of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 241(835), pp. 379-397.
↑ Boulanger, P. and Hayes, M. A., 2001, Finite amplitude waves in Mooney–Rivlin and Hadamard materials, in Topics in Finite Elasticity, ed. M. A Hayes and G. Soccomandi, International Center for Mechanical Sciences.
↑ C. W. Macosko, 1994, Rheology: principles, measurement and applications, VCH Publishers, ISBN 1-56081-579-5.
↑ El polinomio característico de un operador lineal corresponde al tensor tridimensional de Finger de segundo orden (también llamado tensor deformación de Cauchy-Green izquierdo) se escribe usualmente como
$p_{B} (λ) = λ^{3} - a_{1} λ^{2} + a_{2} λ - a_{3}$
In this article, the trace $a_{1}$ is written $I_{1}$ , the next coefficient $a_{2}$ is written $I_{2}$ , and the determinant $a_{3}$ would be written $I_{3}$ .
↑ Plantilla:Cita libro

[Mooney-1] Mooney, M., 1940, A theory of large elastic deformation, Journal of Applied Physics, 11(9), pp. 582-592.

[Rivlin-2] Rivlin, R. S., 1948, Large elastic deformations of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 241(835), pp. 379-397.

[3] Boulanger, P. and Hayes, M. A., 2001, Finite amplitude waves in Mooney–Rivlin and Hadamard materials, in Topics in Finite Elasticity, ed. M. A Hayes and G. Soccomandi, International Center for Mechanical Sciences.

[4] C. W. Macosko, 1994, Rheology: principles, measurement and applications, VCH Publishers, ISBN 1-56081-579-5.

[5] El polinomio característico de un operador lineal corresponde al tensor tridimensional de Finger de segundo orden (también llamado tensor deformación de Cauchy-Green izquierdo) se escribe usualmente como
$p_{B} (λ) = λ^{3} - a_{1} λ^{2} + a_{2} λ - a_{3}$
In this article, the trace $a_{1}$ is written $I_{1}$ , the next coefficient $a_{2}$ is written $I_{2}$ , and the determinant $a_{3}$ would be written $I_{3}$ .

[Bower-6] Plantilla:Cita libro

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Material de Mooney-Rivlin

Sumario

Derivación

Tensor de tensiones de Cauchy e invariantes de deformación

Tensión de en términos de alargamientos principales

Caucho

Véase también

Referencias

Bibliografía

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Tensor de tensiones de Cauchy e invariantes de deformación

Tensión de en términos de alargamientos principales

Caucho

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