Capitalización continua

La capitalización continua es una fórmula que ayuda a calcular el valor presente y el valor futuro de cierta cantidad, añadiendo los intereses que se van acumulando. Por tanto, los intereses que se ganan en un periodo se suman a la cantidad inicial y se vuelven a invertir en el siguiente periodo, capitalizando nuevos intereses y así sucesivamente.

La capitalización continua se considera un tipo de capitalización compuesta. Si se tiene una tasa nominal constante y la capitalización es más frecuente, el monto compuesto (capital + intereses) aumenta. Esto quiere decir que cuanto más rápido es la capitalización de los intereses, mayor será el monto esperado. La periodicidad instantánea sería cuando «m» tiende a infinito. Si «m» tiende a infinito, también «v».

Las fórmulas para obtener el valor futuro y presente de la capitalización continua son: $M=C{\left(1+\frac{i}{m}\right)}^{mt}$

$v=\frac{m}{i}$

$M=C{\left[{(1+\frac{1}{v})}^v\right]}^{it}$

$\underset{v\to \mathrm{\infty }}{\lim }C{\left[{(1+\frac{1}{v})}^v\right]}^{it}=C{e}^{it}$

Donde:

• M = Valor Futuro
• C = Valor Presente
• $i$ = Tasa Efectiva
• $m$ = Periodicidad
• $t$ = Tiempo

Por lo tanto, simplificando la fórmula, el valor futuro y el valor presente calculado a una tasa instantánea o de capitalización continua será:

$M=C{e}^{it}$

$C=\frac{M}{e^{it}}=M{e}^{-it}$

La nomenclatura se respeta siendo la misma de arriba.

Ejemplos

Calcular el valor futuro de una inversión por 100 000 USD que se capitaliza instantáneamente a una tasa del 25 % anual por 3 años.

$M=100,000e^{0.25(3)}$

$M=211,700$

Un pagaré de 1000 dólares vence dentro de un mes. Calcula el valor presente al 9 % compuesto continuamente:

$C=\frac{1,000}{e{}^{0.09(1/12)}}$

$C=992.52$

Convertibilidad de tasas de la capitalización continua

Para poder convertir una tasa nominal de capitalización continua a una tasa efectiva, se emplean las siguientes fórmulas:

$M=C{e}^j$

$M=C(1+i)$

$\Rightarrow C{e}^j=C(1+i)$

$\Rightarrow e^j=(1+i)$

Donde:

• M = Valor Futuro
• C = Valor Presente
• $j$ = Tasa Nominal Capitalizable Continuamente
• $i$ = Tasa Efectiva

Ejemplo

Calcular la tasa de capitalización continua equivalente a una tasa efectiva del 19,72 %.

$e^j=(1+0.1972)$

$\ln e^j=\ln (1+0.1972)$

$j=\ln (1.1972)$

$j=18\mathrm{\%}$

Véase también

• Capitalización simple
• Capitalización compuesta
• Valor tiempo del dinero