Generalización universal

Plantilla:Reglas de transformación En lógica de predicados, generalización (también generalización universal o introducción universal, GEN) es una regla de inferencia válida. Ella establece que si se ha derivado $⊢P(x)$ , entonces puede derivarse $⊢\mathrm{\forall }xP(x)$

Generalización con hipótesis

La regla de generalización completa permite la hipótesis a la izquierda del trinquete, pero con restricciones. Supongamos que Γ es un conjunto de fórmulas, φ una fórmula, y $\mathrm{\Gamma }⊢\phi (y)$. La regla de generalización dice que $\mathrm{\Gamma }⊢\mathrm{\forall }x\phi (x)$ puede derivarse si y no se menciona en Γ y x no ocurre en φ.

Estas restricciones son necesarias para la solidez. Sin la primera restricción, se podría concluir $\mathrm{\forall }xP(x)$ de la hipótesis $P(y)$. Sin la segunda restricción, se podría hacer la siguiente deducción:

1. $\mathrm{\exists }z\mathrm{\exists }w(z=w)$ (Hipótesis)
2. $\mathrm{\exists }w(y=w)$ (Instanciación existencial)
3. $y=x$ (Instanciación existencial)
4. $\mathrm{\forall }x(x=x)$ (Generalización universal defectuosa)

Esto pretende demostrar que $\mathrm{\exists }z\mathrm{\exists }w(z=w)⊢\mathrm{\forall }x(x=x),$ que es una deducción errónea.

Ejemplo de una demostración

Demostrar: $\mathrm{\forall }x(P(x)\to Q(x))\to (\mathrm{\forall }xP(x)\to \mathrm{\forall }xQ(x))$.

Demostración:

Número	Fórmula	Justificación
1	$\mathrm{\forall }x(P(x)\to Q(x))$	Hipótesis
2	$\mathrm{\forall }xP(x)$	Hipótesis
3	$(\mathrm{\forall }x(P(x)\to Q(x)))\to (P(y)\to Q(y)))$	Instanciación universal
4	$P(y)\to Q(y)$	Desde (1) y (3) por Modus ponens
5	$(\mathrm{\forall }xP(x))\to P(y)$	Instanciación universal
6	$P(y)$	Desde (2) y (5) por Modus ponens
7	$Q(y)$	Desde (6) y (4) por Modus ponens
8	$\mathrm{\forall }xQ(x)$	Desde (7) por Generalización
9	$\mathrm{\forall }x(P(x)\to Q(x)),\mathrm{\forall }xP(x)\mathrm{\forall }xQ(x)$	Resumen de (1) a (8)
10	$\mathrm{\forall }x(P(x)\to Q(x))\mathrm{\forall }xP(x)\to \mathrm{\forall }xQ(x)$	Desde (9) por Teorema de la deducción
11	$\mathrm{\forall }x(P(x)\to Q(x))\to (\mathrm{\forall }xP(x)\to \mathrm{\forall }xQ(x))$	Desde (10) por Teorema de la deducción

En esta prueba, se utilizó la generalización universal en el paso 8. El teorema de la deducción es aplicable en los pasos 10 y 11 porque las fórmulas que son trasladadas no tiene variables libres.

Véase también

• Lógica de primer orden
• Generalización apresurada
• Instanciación universal

Enlaces externos

Plantilla:Control de autoridades