Desigualdad de Friedrichs

En matemáticas la desigualdad de Friedrichs es un teorema de análisis funcional gracias a Kurt Friedrichs. Se coloca el límite en la norma L^p de una función utilizando límites L^p en las derivadas débiles de la función y de la geometría del dominio, y se puede utilizar para mostrar que ciertas normas en espacios de Sóbolev son equivalentes.

Discusión de la desigualdad

Sea Ω un conjunto acotado del espacio euclídeo Rⁿ con diámetro d. Supongamos u : Ω → R reside en un espacio de Sóbolev $W_0^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ (i.e. u reside en W^k,p(Ω) y el soporte de u es compacto). Entonces:

$\Vert u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}\le d^k{(\sum _{|\alpha |=k}\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}^p)}^{1/p}.$

En lo anterior

• $\Vert \cdot {\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$ denota la norma L^p;
• α = (α₁, ..., α_n) es un multiíndice con norma |α| = α₁ + ... + α_n;
• D^αu es la derivada parcial

${\mathrm{D}}^{\alpha }u=\frac{{\partial }^{|\alpha |}u}{\underset{x_1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\cdots \underset{x_n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}}.$

Véase también

• Desigualdad de Poincaré