Fórmula de sumación de Abel

En matemáticas, la fórmula de sumación de Abel, definida por Niels Henrik Abel, es muy utilizada en teoría de números para calcular series.

Resultado

Sea $a_n$ una sucesión de números reales o complejos y $\varphi (x)$ una función de clase ${𝒞}^1$, entonces la fórmula de sumación de Abel es

$\sum _{1\le n\le x}{a}_n\varphi (n)=A(x)\varphi (x)-\underset{1}{\overset{x}{\int }}A(u){\varphi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u$

dónde

$A(x):=\sum _{1\le n\le x}{a}_n.$

de hecho, esto es la integración por partes para una integral de Riemann–Stieltjes.

De forma más general, se tiene

$\sum _{x<n\le y}{a}_n\varphi (n)=A(y)\varphi (y)-A(x)\varphi (x)-\underset{x}{\overset{y}{\int }}A(u){\varphi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u.$

Ejemplos

Constante de Euler–Mascheroni

Si $a_n=1$ y $\varphi (x)=\frac{1}{x},$ entonces $A(x)=\lfloor x\rfloor$ y

$\sum _{n=1}^x\frac{1}{n}=\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^2}\mathrm{d}u$

la cual es una manera de representar la constante de Euler–Mascheroni.

Representación de la función zeta de Riemann

Si $a_n=1$ y $\varphi (x)=\frac{1}{x^s},$ entonces $A(x)=\lfloor x\rfloor$ y

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}\mathrm{d}u.$

Esta fórmula es válida para todo $s$ con $\mathrm{\Re }(s)>1.$. Esta fórmula puede ser usada para demostrar el teorema de Dirichlet, que dice que $\zeta (s)$ tiene un polo simple con residuo 1 en $s=1$

Inversa de la función zeta de Riemann

Si $a_n=\mu (n)$ es la función de Möbius y $\varphi (x)=\frac{1}{x^s},$ entonces $A(x)=M(x)=\sum _{n\le x}\mu (n)$ es la función de Mertens y

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{M(u)}{u^{1+s}}\mathrm{d}u.$

Esta fórmula se cumple para $\mathrm{\Re }(s)>1.$

Véase también

• Sumación por partes

Referencias

• Plantilla:Citation.

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