Desigualdad de la suma de Chebyshov

Por el título de esta.Ayuda

(Para la desigualdad utilizada en probabilidad, ver la Desigualdad de Bienaymé-Chebyshov)

La desigualdad de la suma de Chebyshov, debe su nombre al matemático ruso Pafnuti Chebyshov.

Formulación

La desigualdad de la suma de Chebyshov establece que si:

$a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$

y

$b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n,$

entonces:

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\cdot b_k\ge \left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_k\right).$

Del mismo modo, si:

$a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$

y

$b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n,$

entonces:

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\le \left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_k\right).$

Demostración

Considérese la suma:

$S=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n(a_j-a_k)(b_j-b_k).$

Si las dos secuencias no se incrementan, entonces:

Plantilla:Math y Plantilla:Math

tienen el mismo signo para cualquier Plantilla:Math. Por lo tanto Plantilla:Math.

Resolviendo los paréntesis, se deduce que:

$0\le 2n\sum _{j=1}^n{a}_j{b}_j-2\sum _{j=1}^n{a}_j\sum _{k=1}^n{b}_k,$

donde:

$\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{a}_j{b}_j\ge \left(\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{a}_j\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{b}_k\right).$

Una demostración alternativa se puede obtener con el procedimiento de reordenación de desigualdad.

Versión continua

También hay una versión continua de la desigualdad de la suma Chebyshov:

Si f y g son funciones de variable real integrables en el intervalo [0,1], pero no crecientes, o ambas no decrecientes, entonces:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)dx\ge \underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)dx,$

con la desigualdad invertida si una función es no creciente y la otra es no decreciente.