Distancia relativa entre dos campos escalares

Inspirado en el error relativo entre dos cantidades, el operador ${\mathrm{\Delta }}_D$, relaciona dos campos escalares no negativos, que han de ser integrables en el sentido de Riemann en un conjunto $D$ que se supone abierto conexo. El operador ${\mathrm{\Delta }}_D$ permite evaluar el comportamiento de una aproximación analítica frente a una solución numérica que sean soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. La principal ventaja de utilizar ${\mathrm{\Delta }}_D$ en lugar de otras distancias dadas en la literatura es que el valor dado por ${\mathrm{\Delta }}_D$ tiene una interpretación sencilla: un valor cercano a 0 significa relativamente cerca, pero un valor cercano a 1 significa muy lejano.

Definición: Sea $S(D)$ el conjunto de los campos escalares no negativos, integrables en $\text{D}\subseteq {\text{R}}^n$, siendo $D$ un conjunto abierto conexo. Si $f,g\in S(D)$ se define

${\mathrm{\Delta }}_D(f,g)=\{\begin{array}{cc}\frac{\underset{D}{\int }|f\overrightarrow{(}x)-g\overrightarrow{(}x)|dV}{\underset{D}{\int }|f\overrightarrow{(}x)+g\overrightarrow{(}x)|dV}& \text{si f o g}\ne 0\\ 0\text{ si f=g=0}\end{array}$ siendo $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\text{ y }dV=d{x}_1\cdot d{x}_2\cdot ...\cdot d{x}_n$ (1).

De la definición se deduce que

$\mathrm{\forall }f\in S(D),f\ne 0⟶{\mathrm{\Delta }}_D(f,0)=1$ y

$\mathrm{\forall }f\in S(D),f\ne 0⟶{\mathrm{\Delta }}_D(f,f)=0$

A partir de la definición se pueden demostrar los siguientes teoremas

Teorema 1

$\mathrm{\forall }f,g\in S(D)$ se cumple que $0⩽{\mathrm{\Delta }}_D(f,g)⩽1$

Teorema 2

$S(D)$ con la distancia ${\mathrm{\Delta }}_D(f,g)$ definida anteriormente en (1), es un Espacio métrico, es decir cumple las siguientes propiedades

2. ${\mathrm{\Delta }}_D(f,g)\ge 0,\mathrm{\forall }f,g\in S(D)$
4. ${\mathrm{\Delta }}_D(f,g)=0,\mathrm{\forall }f,g\in S(D)⟷f=g\text{ en }D$
6. ${\mathrm{\Delta }}_D(f,g)={\mathrm{\Delta }}_D(g,f),\mathrm{\forall }f,g\in S(D)$
8. ${\mathrm{\Delta }}_D(f,g)⩽{\mathrm{\Delta }}_D(f,h)+{\mathrm{\Delta }}_D(g,h),\mathrm{\forall }f,g,h\in S(D)$

Aplicación a la aproximación para una EDO

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria dependiente de un parámetro $ϵ$, $F(ϵ,x_1,x_2,,...,x_n,y,\frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2},....,\frac{\partial y}{\partial x_n},\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_1},....\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_n},...)=0$ (1)

sujeta a las siguientes condiciones de contorno $y({\overrightarrow{x}}_s)=y_s,{\overrightarrow{x}}_s\in \text{D}$ Para cada valor de $ϵ$ podemos calcular una solución numérica, que dependerá de $\overrightarrow{x}$ y de $ϵ$ y que vamos a llamar $y_{num}=y_{num}(\overrightarrow{x},ϵ)$.

Si la ecuación diferencial es regular, podemos obtener $y_{num}$ con cualquier precisión deseada. Por otra parte consideremos el desarrollo en serie de Taylor, de F, sobre el parámetro $ϵ$ en torno al punto ${ϵ}_0$: $F_n=\sum _{i=0}^n\frac{\partial y^k}{\partial x^k}{|}_{ϵ={ϵ}_0}\frac{(ϵ-{ϵ}_0{)}^k}{k!}$

Sustituyendo $F\text{ por }{F}_n$ en (1), se obtiene una ecuación diferencial ordinaria $F_n(ϵ,x_1,x_2,,...,x_n,y,\frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2},....,\frac{\partial y}{\partial x_n},\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_1},....\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_n},...)=0$ (2)

que debe ser similar a la original (1) para el parámetro $ϵ$ cercano a ${ϵ}_0$ Considerando las mismas condiciones de contorno, a veces, para ciertos órdenes de aproximación n en el desarrollo de Taylor, podemos resolver (2) exactamente $y_n=y_n(\overrightarrow{x},ϵ)$

La pregunta que surge es qué tan buena es el aproximación analítica $y_n$ con respecto a la $y_{num}$ solución numérica, en $D$, para un valor dado de $ϵ$. Para este propósito, se puede utilizar la distancia definida en (1) de la siguiente manera

${\mathrm{\Delta }}_n(ϵ)={\mathrm{\Delta }}_D(y_{num},y_n)$

en donde hemos supuesto que $y_{num}\text{ y }{y}_n$ son campos escalares no negativos, con el fin de poder aplicar (1). Nótese también que ahora podemos dibujar ${\mathrm{\Delta }}_n(ϵ)$ para valores de $ϵ$ cercanos a ${ϵ}_0$ y evaluar la bondad de la aproximación analítica n-ésima $y_n$ con respecto a la solución $y_{num}$