Tabla de Cayley

Arthur Cayley

La tabla de Cayley de un grupo finito es una tabla que describe cómo es la operación de dicho grupo. Presenta una estructura muy similar a la famosa tabla pitagórica.

Fueron introducidas por Arthur Cayley en un artículo de 1854 («On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ ⁿ = 1»), en el que describe cualquier grupo en término de permutaciones.

Estructura de la tabla

Dado el grupo finito G={g₁, g₂, ..., g_n}, su tabla de Cayley tendrá n filas y n columnas. En la fila i, columna j, aparece el resultado de la operación g_i*g_j (donde * es la operación del grupo).

Ejemplos

• Tomamos G={0,1,2} con la operación suma módulo 3. Entonces su tabla de Cayley es:

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

• El grupo simétrico S₃ tiene los siguientes elementos:

$id,g_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right),g_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right),g_4=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right),g_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),g_6=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$.

La tabla de Cayley para (S₃, $\circ$) es:

$\circ$	id	g2	g3	g4	g5	g6
id	id	g2	g3	g4	g5	g6
g2	g2	g1	g5	g6	g3	g4
g3	g3	g6	g1	g5	g4	g2
g4	g4	g5	g6	g1	g2	g3
g5	g5	g4	g2	g3	g6	g1
g6	g6	g3	g4	g2	g1	g5

Propiedades básicas

• Un grupo es abeliano si y solo si su tabla de Cayley es simétrica.
• En la tabla de Cayley, cada elemento del grupo aparece una y solo una vez en cada fila y cada columna. O sea que cada fila y columna es una permutación de los elementos del grupo.