Q-identidad de Vandermonde

Plantilla:Minúsculas En matemáticas, en el campo de la combinatoria, la q-identidad de Vandermonde es una q-análogo de la identitidad de Chu–Vandermonde, que recibe su nombre del matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796). Utilizando la notación estándar para los coeficientes q-binomiales, la identidad toma la forma siguiente

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})}_q=\sum _j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-j})}_q{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}_q{q}^{j(m-k+j)}.$

Las contribuciones no nulas a esta suma provienen de los valores de j tales que sus q-coeficientes en el lado derecho de la ecuación son distintos de cero, es decir, Plantilla:Math

Otros convenios

Como es típico de las q-analogías, la q-identidad de Vandermonde puede ser reescrita de distintas maneras. En los convenios comunes en aplicaciones de grupos cuánticos, se utiliza un q-coeficiente binomial diferente. Este q-coeficiente binomial, denotado aquí por $B_q(n,k)$, se define por

$B_q(n,k)=q^{-k(n-k)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_{q^2}.$

En particular, es el único cambio del q-coeficiente binomial "habitual" por una potencia de q que es simétrica en q y en $q^{-1}$. El uso de este q-coeficiente binomial, permite que la q-identidad de Vandermonde se pueda escribir en la forma

$B_q(m+n,k)=q^{nk}\sum _j{q}^{-(m+n)j}{B}_q(m,k-j)B_q(n,j).$

Demostración

Al igual que con la (no-q) identidad de Chu-Vandermonde, hay varias posibles demostraciones de la q-identidad de Vandermonde. En la prueba siguiente, se utiliza el teorema q-binomial.

Una prueba estándar de la identidad de Chu-Vandermonde es ampliar el producto $(1+x{)}^m(1+x{)}^n$ de dos maneras diferentes. Stanley, demostró que es posible modificar esta prueba para aplicarla también a la q-identidad de Vandermonde. En primer lugar, se observa que el producto

$(1+x)(1+qx)\cdots (1+q^{m+n-1}x)$

puede ser ampliado por el q-teorema del binomio

$(1+x)(1+qx)\cdots (1+q^{m+n-1}x)=\sum _k{q}^{\frac{k(k-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})}_q{x}^k.$

Menos obviamente, se puede escribir

$(1+x)(1+qx)\cdots (1+q^{m+n-1}x)=((1+x)\cdots (1+q^{m-1}x))((1+(q^{m}x))(1+q(q^{m}x))\cdots (1+q^{n-1}(q^{m}x)))$

y se pueden ampliar los subproductos separadamente utilizando el q-teorema binomial, de lo que resulta

$(1+x)(1+qx)\cdots (1+q^{m+n-1}x)=\left(\sum _i{q}^{\frac{i(i-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})}_q{x}^i\right)\cdot \left(\sum _i{q}^{mi+\frac{i(i-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}_q{x}^i\right).$

Multiplicando este último producto y combinando términos semejantes resulta

$\sum _k\sum _j\left(q^{j(m-k+j)+\frac{k(k-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-j})}_q{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}_q\right)x^k.$

Por último, las potencias iguales de $x$ de las dos expresiones producen el resultado deseado.

Este argumento puede también ser expresado en términos de la ampliación del producto $(A+B{)}^m(A+B{)}^n$ de dos maneras diferentes, donde A y B son operadores (por ejemplo, un par de matrices) "q-conmutativos", es decir, que BA = qAB.

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Exton, H. (1983), Funciones y Aplicaciones Hipergeométrica q-, Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983 ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
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• Plantilla:Cite arXiv

Referencias

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