Problema de Hansen

El Problema de Hansen es un caso de resolución geométrica que se presenta en topografía clásica plana. Recibe su nombre del astrónomo Peter Andreas Hansen (1795-1874), que trabajó en el estudio geodésico de Dinamarca.

Planteamiento

Se tienen dos puntos de coordenadas conocidas A y B, y otros dos puntos de coordenadas desconocidas P₁ y P₂. Desde P₁ y P₂ un observador mide el ángulo formado por las visuales a cada uno de los otros tres puntos. El problema es encontrar las posiciones de P₁ y P₂. De acuerdo con la figura, los ángulos medidos son (α₁, β₁, α₂, y β₂).

Puesto que implica la observación de ángulos desde puntos desconocidos, el problema es un ejemplo de resección (diferente de los problemas de intersección).

Ejemplo: este procedimiento permite valerse de dos referencias lejanas, cuya distancia entre sí se conoce (por ejemplo, los campanarios de dos iglesias, que serían los puntos A y B), para calcular las coordenadas de una pareja cualquiera de puntos observables entre sí P₁ y P₂ desde los que también se puedan observar las referencias lejanas.

Resumen del método de resolución

Definir los siguientes ángulos: γ = P₁AP₂, δ = P₁BP₂, φ = P₂AB, ψ = P₁BA. Como primer paso, se resuelve para φ y ψ. La suma de estos dos ángulos desconocidos es igual a la suma de β₁ y β₂, resultando la ecuación

$\varphi +\psi ={\beta }_1+{\beta }_2.$

Una segunda ecuación puede encontrarse de forma algo más laboriosa como sigue. La ley de los senos establece que

$\frac{AB}{P_{2}B}=\frac{\mathrm{sen}{\alpha }_2}{\mathrm{sen}\varphi }$ y

$\frac{P_{2}B}{P_1{P}_2}=\frac{\mathrm{sen}{\beta }_1}{\mathrm{sen}\delta }.$

Combinando las dos expresiones, se obtiene

$\frac{AB}{P_1{P}_2}=\frac{\mathrm{sen}{\alpha }_2\mathrm{sen}{\beta }_1}{\mathrm{sen}\varphi \mathrm{sen}\delta }.$

Con el mismo razonamiento en el otro lado, se tiene que

$\frac{AB}{P_1{P}_2}=\frac{\mathrm{sen}{\alpha }_1\mathrm{sen}{\beta }_2}{\mathrm{sen}\psi \mathrm{sen}\gamma }.$

Relacionando ambas expresiones, se obtiene

$\frac{\mathrm{sen}\varphi }{\mathrm{sen}\psi }=\frac{\mathrm{sen}\gamma \mathrm{sen}{\alpha }_2\mathrm{sen}{\beta }_1}{\mathrm{sen}\delta \mathrm{sen}{\alpha }_1\mathrm{sen}{\beta }_2}=k.$

Mediante una conocida identidad trigonométrica, este cociente de senos puede ser expresado como la tangente de una diferencia de ángulos:

$\tan \frac{\varphi -\psi }{2}=\frac{k-1}{k+1}\tan \frac{\varphi +\psi }{2}.$

De aquí se obtiene una segunda ecuación. Una vez que se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $\varphi$ y $\psi$, se puede utilizar cualquiera de las dos expresiones anteriores para con $\frac{AB}{P_1{P}_2}$ determinar P₁ y P₂ debido a que se conoce la distancia AB. Entonces es posible calcular todos los segmentos utilizando la ley de los senos.

Algoritmo de la solución

Dados los cuatro ángulos (α₁, β₁, α₂, β₂) y la distancia AB, el procedimiento de cálculo tiene el siguiente desarrollo:

• Calcular $\gamma =\pi -{\alpha }_1-{\beta }_1-{\beta }_2,\delta =\pi -{\alpha }_2-{\beta }_1-{\beta }_2.$
• Calcular $k=\frac{\mathrm{sen}\gamma \mathrm{sen}{\alpha }_2\mathrm{sen}{\beta }_1}{\mathrm{sen}\delta \mathrm{sen}{\alpha }_1\mathrm{sen}{\beta }_2}.$
• Hacer que $s={\beta }_1+{\beta }_2,d=2\arctan [\frac{k-1}{k+1}\tan (s/2)]$ y luego $\varphi =(s+d)/2,\psi =(s-d)/2.$
• Calcular

$P_1{P}_2=AB\frac{\mathrm{sen}\varphi \mathrm{sen}\delta }{\mathrm{sen}{\alpha }_2\mathrm{sen}{\beta }_1}$

o de forma equivalente

$P_1{P}_2=AB\frac{\mathrm{sen}\psi \mathrm{sen}\gamma }{\mathrm{sen}{\alpha }_1\mathrm{sen}{\beta }_2}.$

(Si una de estas dos fracciones tiene un denominador próximo a cero, utilizar la otra).

Véase también

• Resolución de triángulos