Espacio localmente conexo

En matemáticas, más precisamente en topología, un espacio topológico $X$ se dice localmente conexo si para todo $x\in X$ y todo $U$ entorno de $x$, existe $V\subseteq U$ entorno abierto de $x$ conexo.

Similarmente, $X$ se dice localmente arco-conexo si para todo $x\in X$ y todo $U$ entorno de $x$, existe $V\subseteq U$ entorno abierto de $x$ arcoconexo.

Dado un espacio topológico $X$, y un punto $x\in X$, si para todo $U$ entorno de $x$ existe un entorno $V\subseteq U$ de $x$ (arco)conexo (sin pedir que $V$ sea abierto), decimos que $X$ es débilmente localmente (arco)conexo en $x$.

Algunos ejemplos

1. El subespacio $[0,1]\cup [2,3]$ de la recta real $R$ es localmente arcoconexo, pero no conexo.

2. El peine del topólogo es arco-conexo pero no localmente arco-conexo.

3. El subespacio $Q$ de números racionales con la topología de subespacio de $R$ no es conexo ni localmente conexo.