Anexo:Derivada de la función logarítmica y la función exponencial.

A continuación vamos a deducir la derivada de la función logaritmo de base apropiada cualquiera y la derivada de la función exponencial.

Derivada de la función logarítmica base a

Sea la función logaritmo base a: $f(x)={\log }_{a}x$, por la definición de derivada:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_{a}x}{h}$

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{\left(\frac{x+h}{x}\right)}^{\frac{1}{h}}=\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{(1+\frac{h}{x})}^{\frac{1}{h}}$

Que podemos transformar en:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{\log }_{a}x& =\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{\left[{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}\right]}^{\frac{1}{x}}\\ & =\frac{1}{x}\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}\\ & =\frac{1}{x}{\log }_a\left[\underset{h\to 0}{\lim }{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}\right]\end{array}$

Cuando $h$ tiende a cero, $\frac{x}{h}=y$ tiende a infinito, introduciendo el cambio de variable resulta :

$\underset{h\to 0}{\lim }{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{y})}^y$

Y por la definición del número e, tenemos que:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x}{\log }_a(e)$

O, lo que es lo mismo:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x\ln (a)}$

En el caso particular del logaritmo natural:

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

Ya que $\ln e=1$.

Derivada de la función exponencial

Partimos de una función exponencial $f(x)=a^x$. Vamos a usar la derivada de la función inversa:

$[f^{-1}{]}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }[f^{-1}(a)]}$

Dado que $a^x$ y ${\log }_{a}x$ son funciones inversas, tenemos que:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{a}^x& =\frac{1}{[\frac{1}{x}{\log }_a(e)]\circ [a^x]}\\ & =\frac{1}{[\frac{1}{a^x}{\log }_a(e)]}\\ & =\frac{a^x}{{\log }_a(e)}\end{array}$

O lo que es lo mismo:

$\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a$

En el caso concreto que $a=e$, tenemos que:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

Ya que $\ln e=1$.

Referencias y notas

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