Análisis de la covarianza

El análisis de la covarianza o ANCOVA, acrónimo del inglés analysis of covariance, es un modelo lineal general con una variable cuantitativa y uno o más factores. El ANCOVA es una fusión del ANOVA y de la regresión lineal múltiple. Es un procedimiento estadístico que permite eliminar la heterogeneidad causada en la variable de interés (variable dependiente) por la influencia de una o más variables cuantitativas (covariables). Básicamente, el fundamento del ANCOVA es un ANOVA al que a la variable dependiente se le ha eliminado el efecto predicho por una o más covariables por regresión lineal múltiple. La inclusión de covariables puede aumentar la potencia estadística porque a menudo reduce la variabilidad.

Ecuaciones

ANCOVA de un factor

El análisis de un factor es apropiado cuando se dispone de tres o más grupos. En los diseños equilibrados, cada grupo tiene el mismo número de datos (individuos), los cuales idealmente han sido asignados al azar a cada grupo a partir de una muestra original preferiblemente homogénea.

Calculando la suma de las desviaciones al cuadrado para la variable independiente X y la variable dependiente Y

Las sumas de las desviaciones al cuadrado o sumas de cuadrados (SS): $SS{T}_y$, $SST{r}_y$, y $SS{E}_y$ deben ser calculadas usando las siguientes ecuaciones para la variable dependiente, Y. La SS para la covariable también debe ser calculada; los dos valores necesarios son $SS{T}_x$ y $SS{E}_x$.

La suma de cuadrados total define una la variabilidad del total de individuos $n_T$:

$SS{T}_y=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{Y}_{ij}^2-\frac{{\left(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{Y}_{ij}\right)}^2}{n_T}$

La suma de cuadrados para los tratamientos define la variabilidad entre las poblaciones o grupos. $k$ representa el número de grupos.

$SST{r}_y=\sum _{i=1}^n\left(\frac{\sum _{j=1}^k{Y}_{ij}^2}{k}\right)-\frac{{\left(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{Y}_{ij}\right)}^2}{n_T}$

La suma de cuadrados del error define la variabilidad residual dentro de cada grupo. $n_n$ representa el número de individuos en un grupo dado:

$SS{E}_y=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{Y}_{ij}^2-\sum _{i=1}^n\left(\frac{\sum _{j=1}^k{Y}_{ij}^2}{n_k}\right)$

La suma de cuadrados total es igual a la suma de cuadrados de los tratamientos y la suma de cuadrados del error (propiedad de aditividad de las sumas de cuadrados y de los grados de libertad, característica del ANOVA).

$SS{T}_y=SST{r}_y+SS{E}_y.$

Cálculo de la covarianza de X e Y

La sumas de las covarianzas ($SCT$ y $SCE$) definen la covarianza de X e Y.

$SCT=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{X}_{ij}{Y}_{ij}-\frac{\left(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{X}_{ij}\right)\left(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^k{Y}_{ij}\right)}{n_T}$

$SCE=\sum _{j=1}^k(\sum _{i=1}^n{X}_{ij}{Y}_{ij}-\frac{\sum _{i=1}^n(X_{ij}{Y}_{ij})}{n_n})$

Ajuste de SST_y

Las correlaciones entre X e Y son $r_T$ para el total y $r_n$ para el error.

$r_T=\frac{SCT}{\sqrt{SS{T}_{x}SS{T}_y}}$

$r_n=\frac{SCE}{\sqrt{SS{E}_{x}SS{E}_y}}$

La proporción de covarianza es sustraída de la dependiente; valores de $S{S}_y$:

$SS{T}_{y(adj)}=SS{T}_y-SS{T}_y(r_T{)}^2$

$SS{E}_{y(adj)}=SS{E}_y-SS{E}_y(r_n{)}^2$

$SST{r}_{y(adj)}=SS{T}_{y(adj)}-SS{E}_{y(adj)}$

Ajuste de las medias de cada grupo k

La media de cada grupo es ajustada del siguiente modo:

$M_{y_i(adj)}=M_{y_i}-\frac{SC{E}_y}{SC{E}_x}(M_{x_i}-M_{x_T})$

Análisis usando los valores de la suma de cuadrados

Finalmente obtenemos la varianza de los tratamientos libre de la covarianza, donde $d{f}_{Tr}$ (grados de libertad de los tratamientos) es igual a $k-1$ y $d{f}_E$ (grados de libertad del error) es igual a $n_T-k-1$. Puede apreciarse que cada covariable elimina un grado de libertad.

$MSTr=\frac{SSTr}{d{f}_{Tr}}$

$MSE=\frac{SSE}{d{f}_E}$

El estadístico F se obtiene de:

$F_{d{f}_E,d{f}_{\mathrm{T}\mathrm{r}}}=\frac{MSTr}{MSE}$

Véase también

• Covarianza
• MANCOVA

Enlaces externos

• One-Way Analysis of Covariance for Independent Samples (en inglés)

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