Característica (matemática)

En álgebra abstracta, la característica de un anillo $R$ es definida como el entero positivo más pequeño $n$ tal que $1_R+\stackrel{n\text{ sumandos}}{\dots }+1_R=0$. Si no existe tal $n$, se dice que la característica de $R$ es 0.

De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo $R$ como el único número natural $n$ tal que $R$ contenga un subanillo isomorfo al anillo cociente $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

El caso de anillos

Si $R$ y $S$ son anillos y existe un homomorfismo de anillos

$R\to S$,

entonces la característica de $S$ divide la característica de $R$. Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial, el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial $R$ no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 o primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.

El anillo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ de los enteros módulo $n$ tiene característica $n$. Si $R$ es un subanillo de $S$, entonces $R$ y $S$ tienen la misma característica. Por ejemplo, si $q(X)$ es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ donde $p$ es primo, entonces el anillo factor $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]/(q(X))$ es un cuerpo de característica $p$. Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.

Si un anillo conmutativo $R$ tiene característica prima $p$, entonces se tiene que $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ para todo elemento $x$ e $y$ en $R$.

La aplicación

$f(x)=x^p$

define un homomorfismo de anillos

$R\to S$,

Este es llamado el endomorfismo de Frobenius. Si $R$ es un dominio de integridad este es inyectivo.