Conjunto sólido

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y en análisis funcional, un subconjunto $S$ de un espacio de Riesz se dice que es sólido y se llama ideal si para todos los $s\in S$ y $x\in X,$ si $|x|\le |s|$ entonces $x\in S.$ Un espacio vectorial ordenado cuyo orden es arquimediano se dice que está ordenado arquimedianamente.Plantilla:Sfn Si $S\subseteq X$, entonces el ideal generado por $S$ es el ideal más pequeño en $X$ que contiene a $S.$ Un ideal generado por un conjunto unitario se llama ideal principal en $X.$

Ejemplos

La intersección de una colección arbitraria de ideales en $X$ es nuevamente un ideal y, además, $X$ es claramente un ideal en sí mismo. Por lo tanto, cada subconjunto de $X$ está contenido en un ideal más pequeño único.

En un retículo vectorial localmente convexo $X,$ el polar de cada entorno sólido del origen es un subconjunto sólido del espacio dual continuo $X^{\prime }$. Además, la familia de todos los subconjuntos sólidos equicontinuos de $X^{\prime }$ es una familia fundamental de conjuntos equicontinuos, los polares (en $X^{\prime \prime }$ bidual) forman una base de entornos del origen de la topología natural en $X^{\prime \prime }$ (es decir, la topología de convergencia uniforme del subconjunto equicontinuo de $X^{\prime }$).Plantilla:Sfn

Propiedades

• Un subespacio sólido de una red vectorial $X$ es necesariamente una subred de $X.$Plantilla:Sfn
• Si $N$ es un subespacio sólido de una red vectorial $X$, entonces el cociente $X/N$ es una red vectorial (bajo el orden canónico).Plantilla:Sfn

Véase también

• Espacio de Riesz

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro