Coordenadas baricéntricas (n-simplex)

Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n-simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas solo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno.

Triángulo

Coordenadas baricéntricas $({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ en un triángulo equilátero y en un triángulo recto

Como ejemplo introductorio se considera un triángulo en el plano euclídeo ${𝔼}^2$ de vértices $\text{A}=(x_A,y_A)$, $\text{B}=(x_B,y_B)$ y $\text{C}=(x_C,y_C)$, entonces cualquier punto del interior del triángulo $\text{P}=(x,y)$ puede ser representado por tres coordenadas baricéntricas $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ tales que: Plantilla:Ecuación Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por: Plantilla:Ecuación Ahora ya se pueden introducir las coordenadas baricéntricas de la Enciclopedia de los Centros del Triángulo de Clark Kimberling. Dicha web cuenta con miles de centros con coordenadas baricéntricas y trilineales. Normalmente solo aparece la 1ª (alfa), pero al ser homogéneas se pueden deducir las otras 2 permutando las letras de la 1ª, por ejemplo, el punto P = $a(b-c)$ : : , corresponde a las coordenadas $\alpha =a(b-c)$, $\beta =b(c-a)$, $\gamma =c(a-b)$. $P=(a(b-c):b(c-a):c(a-b))$. Es decir, solo hay 3 letras: a,b,c ya que el triángulo solo tiene 3 lados, y cada letra corresponde a la longitud de un lado. Si empieza en la a, la siguiente es la b, y la última la c. Si comienza en la b, la siguiente es la c y la siguiente, como no hay d, recomienza en la a. Si comienza en la c, al ser una triada cíclica, la siguiente es la a y después la b. Si el punto o centro Kimberling viniera en coordenadas trilineales, basta convertirlas a baricéntricas multiplicando cada una por una letra distinta: a,b,c. Ejemplo: $\alpha *a$, $\beta *b$, $\gamma *c$.

En concreto el lado $\text{AB}$ se caracteriza por tener $\gamma =0$, el lado $\text{BC}$ tiene $\alpha =0$, y el lado $\text{CA}$ $\beta =0$. El baricentro coincidirá con el punto $(\alpha ,\beta ,\gamma )=(1/3,1/3,1/3)$. El triángulo estará formado por todos los puntos del conjunto T: Plantilla:Ecuación El lado a (opuesto al vértice A) será el conjunto de puntos: Plantilla:Ecuación y análogamente los lados b y c por lo que la frontera del triángulo estará formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricéntricas sea cero. Y los vértices satisfacen que una de sus coordenadas baricéntricas es uno y las otras son nulas.

Tetraedro

La construcción anterior puede ampliarse a un tetraedro, no necesariamente regular, en el espacio euclídeo ${𝔼}^3$. Si los vértices del tetraedro en cuestión son $\text{A}=(x_A,y_A,z_A)$, $\text{B}=(x_B,y_B,z_B)$, $\text{C}=(x_C,y_C,z_C)$ y $\text{D}=(x_D,y_D,z_D)$, entonces cualquier punto del interior del tetraedro $\text{P}=(x,y,z)$ puede ser representado por cuatro coordenadas baricéntricas $(t_A,t_B,t_C,t_D)$ tales que: Plantilla:Ecuación Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por: Plantilla:Ecuación El baricentro coincidirá con el punto $(t_A,t_B,t_C,t_D)=(1/4,1/4,1/4,1/4)$. Dado un punto P si ninguna de las coordenadas baricéntricas es cero $t_A\ne 0,t_B\ne 0,t_C\ne 0,t_D\ne 0$ el punto será un interior, si solo una de ellas es cero será un punto interior a una de las caras del tetraedro, si dos y solo dos de las coordenadas baricéntricas son cero el punto será el interior de una arista y si tres de las coordenadas baricéntricas son cero (y por tanto la otra igual a 1) el punto será un vértice.

n-simplex

Dado un n-simplex (o simplex) en el espacio euclídeo ${𝔼}^n$, se pueden definir las coordenadas baricéntricas generalizadas. Si los n+1 vértices del n-simplex son: Plantilla:Ecuación entonces cualquier punto del interior del simplex $P=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ puede ser representado por n+1 coordenadas baricéntricas $(t_1,t_2,\dots ,t_{n+1})$ tales que: Plantilla:Ecuación

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por: Plantilla:Ecuación

El baricentro coincidirá con el punto $(t_1,t_2,\dots ,t_{n+1})=(1/(n+1),1/(n+1),\dots ,1/(n+1))$.

Plantilla:Control de autoridades