Deducción de la fórmula de Bhaskara

La fórmula de Bhaskara o fórmula general para las ecuaciones cuadráticas es una regla general que permite determinar las raíces de un polinomio de segundo grado. Fue deducida por el famoso matemático indio Bhaskara.Plantilla:Cr

Lo que se busca es determinar los valores $x_1,x_2$ para los cuales la ecuación $a{x}^2+bx+c=0$ tiene solución:

Demostración sencilla por cambio de variable

Demostración por traslado de la función:

La ecuación de segundo grado representa una parábola, y su mínimo o máximo lo encontramos igualando su derivada a 0, (punto en que la pendiente es 0).

$$f(x)=a{x}^2+bx+c\Rightarrow f^{\prime }(x)=2ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}$$

.1-Trasladaremos la función de modo que este punto se encuentre en el punto 0 del eje "x".

de esta forma, el eje "y ", dividirá la función en dos partes simétricas:

Matemáticamente equivale al cambio de variable: $x=z-\frac{b}{2a}$

$$f(z)=a{z}^2+\frac{b^2}{2^{2}a}-bz+bz-\frac{b^2}{2a}+c\Rightarrow f(z)=a{z}^2+\frac{b^2-2b^2+2^{2}ac}{2^{2}a}$$

2.-Resolvemos la ecuación cuando $f(z)=0$, que nos dará dos soluciones simétricas respecto del eje y

$$a{z}^2+\frac{b^2-2b^2+2^{2}ac}{2^{2}a}=0\Rightarrow a{z}^2=\frac{b^2-2^{2}ac}{2^{2}a}\Rightarrow z=\frac{\pm \sqrt{b^2-2^{2}ac}}{2a}$$

3.-Ya solo nos queda deshacer el cambio de variable:

$$x=z-\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{b^2-2^{2}ac}}{2a}-\frac{b}{2a}\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-2^{2}ac}}{2a}$$

Demostración por cambio de variable:

Se puede simplificar aplicando el cambio de variable $2m=b/a$ y $n=c/a$. Así la ecuación queda:

$a{x}^2+bx+c=0$

• Se aplica el cambio de variable

$x^2+2mx+n=0$

• Sumando $m^2$ para ajustar cuadrados, y restando n en ambos miembros

$x^2+2mx+m^2=m^2-n$

• Y seguidamente contrayendo de la siguiente manera

$(x+m{)}^2=m^2-n$

• Se aplica la raíz cuadrada a ambos lados

$x+m=\pm \sqrt{m^2-n}$

• Restando $m$ a ambos lados

$x=-m\pm \sqrt{m^2-n}$

• Deshaciendo la sustitución, $m=b/2a$ y $n=c/a$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}}$

• Y operando se obtiene la siguiente ecuación:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Demostración

• Partiendo de la ecuación

$a{x}^2+bx+c=0$ con $a\ne 0$

• Se multiplica por $4a$

$4a^2{x}^2+4abx+4ac=0$

• Seguidamente se suma $b^2$

$b^2+4a^2{x}^2+4abx+4ac=b^2$

• Reordenando se observa que es el cuadrado de la suma y por tanto:

$4a^2{x}^2+4abx+b^2=b^2-4ac$

• Y contrayendo la identidad notable

$(2ax+b{)}^2=b^2-4ac$

• Aplicación de la raíz cuadrada a ambos lados

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$

• Restando $b$ a ambos lados de la igualdad

$2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$

• Como $a\ne 0$ se divide entre $2a$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Véase también

• Ecuación de segundo grado

Enlaces externos

• Demostración: Fórmula Resolvente