Distribución del máximo de una muestra

Sean las variables aleatorias $X_1,X_2,...,X_n$ independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución $F_X(x)$ y función de densidad $f_X(x)$. Sea también la variable $Y$ definida por: $Y=max(X_1,X_2,...,X_n)$. Entonces, la función de distribución del máximo de la muestra está dada por: $F_Y(y)=[F_X(y){]}^n$, y su función de densidad: $f_Y(y)=n[F_X(y){]}^{n-1}{f}_X(y)$.

Demostración

Supongamos que $G(y)$ es la función de distribución de Y, entonces:

$G(y)=P(Y\le y)=P(max(X_1,...,X_n)\le y)$

Como $X_i\le max(X_1,...,X_n)$ para $i=1,2,...,n$, el evento $max(X_1,...,X_n)\le y$. es equivalente al evento $(X_1\le y,X_2\le y,...,X_n\le y)$. Es decir, para que el máximo de $(X_1,...,X_n)$ sea menor que $y$.

$y$, cada una de las $X_i$ tiene que ser menor o igual a ese número $y$. Por lo tanto:

$G(y)=P(Y\le y)$

$=P(max(X_1,...,X_n)\le y)$

$=P(X_1\le y,X_2\le y,...,X_n\le y)$

$=P(X_1\le y)P(X_2\le y)...P(X_n\le y)$ (Independencia)

$=[P(X_1\le y){]}^n$ (Distribución idéntica)

$=[F(y){]}^n$ (Definición)

Del mismo modo, la función de densidad de Y sería:

$g(y)=G(y{)}^{\prime }=([F(y){]}^n{)}^{\prime }=n[F(y){]}^{n-1}f(y)$

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