Distribución del mínimo de una muestra

Sean las variables aleatorias $X_1,X_2,...,X_n$ independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución $F_X(x)$ y función de densidad $f_X(x)$. Sea también la variable $Y$ definida por: $Y=min(X_1,X_2,...,X_n)$. Entonces, la función de distribución del mínimo de la muestra está dada por: $F_Y(y)=1-[1-F_X(y){]}^n$, y su función de densidad: $f_Y(y)=n[1-F_X(y){]}^{n-1}{f}_X(y)$.

Demostración

Se parte de la demostración de la distribución del máximo de una muestra. Supongamos que $G(y)$ es la función de distribución de Y, entonces:

$G(y)=P(Y\le y)=P(min(X_1,...,X_n)\le y)$

A diferencia del máximo, el mínimo de $X_1,X_2,...,X_n$ puede ser menor que $y$, mientras que muchos de los $X_1,X_2,...,X_n$ pueden ser mayores. Por esta razón se trabaja con el complemento del evento $min(X_1,X_2,...,X_n)\le y$, es decir, con $min(X_1,X_2,...,X_n)>y$.

Como $X_i\ge min(X_1,...,X_n)$ para $i=1,2,...,n$, el evento $min(X_1,...,X_n)>y$ es equivalente al evento $(X_1>y,X_2>y,...,X_n>y)$. Es decir sea mayor que un número $y$, cada una de las $X_i$ tiene que ser mayor que ese número $y$. Por lo tanto:

$G(y)=P(Y\le y)$

$=P(min(X_1,...,X_n)\le y)$

$=1-P(min(X_1,...,X_n)>y)$ (Complemento)

$=1-P(X_1>y,X_2>y,...,X_n>y)$

$=1-P(X_1>y)P(X_2>y)...P(X_n>y)$ (Independencia)

$=1-[P(X_1>y){]}^n$ (Distribución idéntica)

$=1-[1-F(y){]}^n$ (Definición)

Del mismo modo, la función de densidad de Y sería:

$g(y)=G(y{)}^{\prime }=(1-[1-F(y){]}^n{)}^{\prime }=n[1-F(y){]}^{n-1}f(y)$

Enlaces externos

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