Ecuación de Chebyshev

La ecuación de Chebyshev es la ecuación diferencial lineal de segundo orden.

$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+p^{2}y=0$

donde p es una constante real (o compleja). La ecuación lleva el nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev.

Las soluciones se pueden obtener por series de potencias:

$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

donde los coeficientes obedecen la relación de recurrencia

$a_{n+2}=\frac{(n-p)(n+p)}{(n+1)(n+2)}{a}_n.$

La serie converge para $|x|<1$ (nota, x puede ser complejo), como se puede ver aplicando el criterio de d'Alembert a la recurrencia.

La recurrencia puede comenzar con valores arbitrarios de a₀ y a₁, lo que lleva al espacio bidimensional de soluciones que surge de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las opciones estándar son:

a₀ = 1 ; a₁ = 0, conducen a la solución

$F(x)=1-\frac{p^2}{2!}{x}^2+\frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}{x}^4-\frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}{x}^6+\cdots$

y

a₀ = 0 ; a₁ = 1, conducen a la solución

$G(x)=x-\frac{(p-1)(p+1)}{3!}{x}^3+\frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}{x}^5-\cdots .$

La solución general es cualquier combinación lineal de estas dos.

Cuando p es un número entero no negativo, una u otra de las dos funciones tiene su serie acabada con un número finito de términos: F termina si p es par y G termina si p es impar. En este caso, esa función es un polinomio de grado p y es proporcional al polinomio de Chebyshev de primer tipo

$T_p(x)=(-1{)}^{p/2}F(x)$ si p es par

$T_p(x)=(-1{)}^{(p-1)/2}pG(x)$ si p es impar