Espacio cociente (álgebra lineal)

En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.

Definición

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E:

Dados $u,v\in E$ diremos que están relacionados módulo $F$ si $u-v\in F$.

Observación:$u-v\in F$ equivale a $u-v=w,w\in F$, es decir, $u=v+w,w\in F$ y abusando del lenguaje $u=v+F.$

Se nota por $[u]=u+F:=\{u+v:v\in F\}$ $=\{w:w=u+v,v\in F\}$ a la clase de $u$ módulo $F$.

Llamaremos espacio cociente al conjunto de todos los elementos que cumplen las clases de equivalencia anterior:

Se nota por $E/F_{}^{}$ a dicho espacio cociente.

El espacio $E/F_{}^{}$ es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

Observaciones

• Si $u\in v+F$ $\iff u+F=v+F$ $\iff [u]=[v]$, por constituir $E/F$ una partición de $E.$

• Si $u\in F$ $\iff u\in [0].$

• Si $u\in ̸F$, $⟨u⟩\cap (u+F)\ne \mathrm{\varnothing }$ $\iff \lambda u=u+v,v\in F$ $\iff (\lambda -1)u\in F$ $\iff \lambda =1.$

• Los elementos de $[u]:[u]\ne [0]$ no son un espacio vectorial en $E$ pues no tiene el elemento neutro $\overrightarrow{0}.$
• Esta estructura vectorial es la única en el cociente que hace a la proyección canónica lineal.

Dimensión del espacio cociente

Dado $E$ un espacio vectorial y $F\subset E$ un subespacio, si la dimensión de E es finita entonces:

Ejemplo

Sea $F$ un subespacio vectorial de ${ℝ}^2$ generado por un vector $v$, $F=⟨v⟩$, si se considera el espacio cociente ${ℝ}^2/F$ la clase de un vector $u\in {ℝ}^2$ será:

$[u]=\{u+v:v\in F\}$, siendo su espacio cociente ${ℝ}^2/F=\{[u]:u\in {ℝ}^2\}$, es decir todas las rectas paralelas al subespacio F.

F y 2 clases [u], [u'] del espacio cociente ${ℝ}^2/F$.

Véase también

• Grupo cociente

• Conjunto cociente

Referencias

• Plantilla:MathWorld

Bibliografía

• Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.