Función beta de Gödel

En lógica matemática, la función beta de Gödel es una función numérica que permite la definición de funciones recursivas dentro de una teoría formal aritmética.

Definición y propiedades

La definición de la función beta es la siguiente: Plantilla:Definición La utilidad de esta función viene dada por el siguiente lema: Plantilla:Teorema

Aplicaciones

Mediante la función beta puede representarse cualquier función recursiva en una teoría aritmética formal. Como ejemplo, tómese el enunciado «Plantilla:Math es igual a Plantilla:Math elevado a Plantilla:Math», donde Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math son variables de la teoría. En principio no es obvio como expresar esta frase utilizando solo el lenguaje de una teoría aritmética, que se compone de los símbolos lógicos más los símbolos aritméticos (los numerales «Plantilla:Math», el funtor siguiente «Plantilla:Math» , la suma «+» y el producto «·»).

Sin embargo, usando la función beta, este predicado puede expresarse de forma sencilla como: Plantilla:Definición donde a su vez, los términos del tipo Plantilla:Math son abreviaturas de

$\beta (a,b,c)\equiv w|w<1+(1+c)b\wedge \mathrm{\exists }d,d\cdot (1+(1+c)b)+w=a$

Referencias

• Plantilla:Obra citada.