Función cuasiperiódica

En matemáticas, una función se dice cuasiperiódica cuándo tiene alguna semejanza a una función periódica pero no coincide con la definición estricta. Para ser más preciso, esto significa una función $f$ es cuasiperiódica con cuasiperiodo $\omega$ si $f(z+\omega )=g(z,f(z))$, dónde g es una función más simple que f. Nótese qué "simple" es impreciso y permite diferentes definiciones.

Un caso sencillo (a veces llamada aritmética-cuasiperiódica) es si la función obedece la ecuación:

$f(z+\omega )=f(z)+C$

Otro caso (a veces llamado geométrico-cuasiperiódico) es si la función obedece la ecuación:

$f(z+\omega )=Cf(z)$

Un ejemplo útil es la función :

$f(z)=\sin (Az)+\sin (Bz)$

Si la proporción A/B es racional, esto tendrá un periodo, pero si A/B es irracional no hay dicho periodo, aunque sí una sucesión de números ${\omega }_i$ llamados "casi" (almost) periodos, tales que para cualquier $ϵ$, existe un i tal que.

$|f(z+{\omega }_i)-f(z)|<ϵ$

Otro ejemplo de función con casi periodos es la función theta de Jacobi, dónde

$\vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau ),$

muestra que para τ fijo, el cuasiperiodo es τ; también es periódico con periodo uno. Otro ejemplo está proporcionado por la función sigma de Weierstrass, la cual es cuasiperiódico, con dos cuasiperiodos independientes, los periodos correspondientes a las funciones sigma de Weierstrass.

Funciones con una ecuación funcional aditiva

$f(z+\omega )=f(z)+az+b$

son también llamadas cuasiperiódicas. Un ejemplo de esto es la función zeta de Weierstrass, dónde

$\zeta (z+\omega )=\zeta (z)+\eta$

Para una constante fija η cuándo ω es un periodo de la correspondiente función ℘ de Weierstrass.

Véase también

• Movimiento cuasiperiódico
• Función casi periódica