Función zeta prima

En matemática, la función zeta prima es un análogo de la función zeta de Riemann, estudiada por Plantilla:Harvtxt. Está definida por la siguiente serie infinita, la cual converge para todo $\mathrm{\Re }(s)>1$:

$P(s)=\sum _{p\in \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}}\frac{1}{p^s}$.

El producto de Euler para la función zeta de Riemann ζ(s) implica que

$\log \zeta (s)=\sum _{n>0}\frac{P(ns)}{n}$

el cual, mediante la fórmula de inversión de Möbius se obtiene que

$P(s)=\sum _{n>0}\mu (n)\frac{\log \zeta (ns)}{n}$

Cuando s tiende a 1, se tiene que $P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left(\frac{1}{s-1}\right)$. Esto es usado en la definición de la densidad de Dirichlet.

Esto da la continuación analítica de P(s), para $\mathrm{\Re }(s)>0$, con un infinito número de singularidades logarítmicas en los puntos donde ns es un polo o un cero de ζ(s). La línea $\mathrm{\Re }(s)=0$ es una frontera natural, como lo es el grupo de singularidades, cerca de todos los puntos de esta línea.

Referencias

• Plantilla:Cita publicación Plantilla:JSTOR
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• Plantilla:Cite arXiv

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld