Fórmula de De Polignac

En teoría de números, la fórmula de De Polignac, llamada así en honor a Alphonse de Polignac, proporciona una fórmula para la factorización en primos del factorial, donde n ≥ 1 es un número entero. L. E. Dickson atribuye la fórmula a Legendrey también se la conoce por esto como fórmula de Legendre. En concreto, la fórmula da una expresión para encontrar con qué exponente contribuye cada primo menor que $n$ a la factorización de $n!$ y, por tanto, la descomposición en factores primos de $n!$.

Enunciado

Sea n ≥ 1 un entero. Podemos expresar $n!$ como un producto de números primos factorizándolo. Obtenemos pues que

$n!=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\text{ primo}}{p\le n}}{p}^{s_p(n!)}$

para ciertos primos $p$ que contribuyen con exponentes $s_p(n!)$ (es decir, definimos $s_p(n!)$ como el exponente de $p$ en la descomposición en factores primos de $n!$). Claramente, los primos de la descomposición deben ser menores que $n$ (pues deben dividir a algún número menor que $n$ por definición de factorial).

La fórmula de Legendre nos da entonces una fórmula explícita para calcular estos exponentes (y, por tanto, toda la descomposición). Concretamente, afirma que

$s_p(n!)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$,

donde los corchetes representan la función piso.

Nótese que, para cualquier número real x, y cualquier entero n, se tiene que:

$\lfloor \frac{x}{n}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor }{n}\rfloor$

que permite calcular más sencillamente los términos s_p(n!).Plantilla:Cita requerida

Ejemplo

Para n=6, se tiene que $6!=720=2^4\cdot 3^2\cdot 5^1$. Los exponentes, que sabemos que valen $s_2(6!)=4,s_3(6!)=2,s_5(6!)=1$, se pueden calcular también con la fórmula de Legendre:

$\begin{array}{cc}{s}_2(6!)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{6}{2^i}\rfloor =\lfloor \frac{6}{2}\rfloor +\lfloor \frac{6}{4}\rfloor =3+1=4,\\ s_3(6!)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{6}{3^i}\rfloor =\lfloor \frac{6}{3}\rfloor =2,\\ s_5(6!)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{6}{5^i}\rfloor =\lfloor \frac{6}{5}\rfloor =1.\end{array}$

Demostración

Como, por definición, $n!$ es el producto de los enteros entre $1$ y $n$, obtenemos por lo menos un factor $p$ en $n!$ por cada múltiplo de $p$ en $\{1,2,\dots ,n\}$. Como cada múltiplo de $p$ dista del siguiente una distancia $p$, en la lista anterior tenemos $\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$ múltiplos de $p$. Pero cada múltiplo de $p^2$ contribuye con dos factores (y no uno) de $p$, cada múltiplo de $p^3$ con tres factores de $p$, etcétera. Por el mismo argumento anterior, en $\{1,2,\dots ,n\}$ hay $\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$ múltiplos de $p^i$. Así, si sumamos uno por cada múltiplo de $p$ en $\{1,2,\dots ,n\}$ (o lo que es lo mismo, el número de múltiplos de $p$ en $\{1,2,\dots ,n\}$), uno más por cada número que sea también múltiplo de $p^2$ (el número de múltiplos de $p^2$ en $\{1,2,\dots ,n\}$), uno más por cada número que sea también múltiplo de $p^3$ (el número de múltiplos de $p^3$ en $\{1,2,\dots ,n\}$), etcétera, obtenemos el número de factores $p$ que tiene $n!$, pero esto es lo que enuncia la fórmula de Legendre. $◻$

Bibliografía

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Enlaces externos

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