Fórmulas de la mitad del lado

Triángulo esférico

En trigonometría esférica, las fórmulas de la mitad del lado relacionan los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo esférico, que son los triángulos formados por tres circunferencias máximas en la superficie de una esfera, y por lo tanto, tienen lados curvos y no obedecen a las fórmulas de los triángulos planos.

Fórmulas

En una esfera unitaria, las fórmulas del centro del lado son

$\begin{array}{cc}\tan \left(\frac{a}{2}\right)& =R\cos (S-A)\\ \tan \left(\frac{b}{2}\right)& =R\cos (S-B)\\ \tan \left(\frac{c}{2}\right)& =R\cos (S-C)\end{array}$

donde

• a, b, c son las longitudes de los lados respectivamente opuestos a los ángulos A, B, C,
• $S=\frac{1}{2}(A+B+C)$ es la semisuma de los ángulos, y
• $R=\sqrt{\frac{-\cos S}{\cos (S-A)\cos (S-B)\cos (S-C)}}.$

Las tres fórmulas son realmente la misma fórmula, con los nombres de las variables permutados.

Para generalizar a una esfera de radio arbitrario r, las longitudes a, b, c deben reemplazarse por

• $a\to a/r$
• $b\to b/r$
• $c\to c/r$

de modo que a, b, c tienen escalas de longitud, en lugar de escalas angulares.

Véase también

• Ley esférica de los cosenos
• Fórmula del semiverseno