Interpolación racional

Una Función racional $r$, de grado $N$, es un cociente de polinomios cuyos grados suman $N$.

$r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_0+p_1(x-x_0)+\cdots +p_n(x-x_0{)}^n}{q_0+q_1(x-x_0)+\cdots +q_n(x-x_0{)}^n}$

La primera forma de obtener esta función racional se parece más a una interpolación que a una aproximación, propiamente dicha. Supongamos que $x_1,x_2,\cdots ,x_N$ son puntos, ninguno de los cuales es igual al punto $x_0$, en torno al cual se obtiene la interpolación. Queremos que $f(x)$ y $r(x)$ coincidan en el conjunto $x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_N$. Para que $r(x)$ exista en $x_0$, debe ser $q_0\ne 0$ y podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $q_0=1$. Por otra parte, al sustituir $x$ por $x_0$, se obtiene $p_0=f(x_0)$. Así pues, el punto $x_0$ ya ha sido utilizado y no intervendrá en los cálculos siguientes. Si sustituimos en $r(x)$, cada uno de los puntos $x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_N$ y exigimos que el resultado sea, en cada caso, el valor de $f(x)$ en dichos puntos, obtendremos el sistema de ecuaciones:

$\sum _{k=1}^n{p}_k(x_i-x_0{)}^k-\sum _{j=1}^{m}f(x_i)q_j(x_i-x_0{)}^j=f(x_i)-f(x_0),i=1,2,\cdots x_N$