Método de aproximaciones sucesivas de Picard

El método de aproximaciones sucesivas de Picard (por Charles Émile Picard, matemático francés que lo desarrolló) es un método iterativo para obtener una solución a una ecuación diferencial.

Para un problema de Cauchy con la ecuación diferencial $y^{\prime }=f(x,y)$ y condición de contorno $y{|}_{x=x_0}=y_0$ donde se puede asegurar la existencia y unicidad de solución para un dominio $D:|x-x_0|<a,|y-y_o|<b$ es posible construir una solución de forma iterativa según la expresión Plantilla:Teorema Donde $y_0$ se puede elegir arbitrariamente. Lo habitual es elegir $y_0=x_0$.

La convergencia de esta serie de funciones es demostrable en el intervalo $x_0-h<x<x_0+h$ donde $h=\min (a,\frac{b}{M})$ con $M=\underset{(x,y)\in D}{\max }|f(x,y)|$.

El error del paso enésimo es acotable mediante la desigualdad

$|y(x)-y_n(x)|\le \frac{M{N}^{n-1}}{n!}{h}^n$

donde $N=\underset{(x,y)\in D}{\max }\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|$. Con ello es posible programar el algoritmo para que itere hasta una resolución dada.

Ejemplo

Consideramos el problema de Cauchy

En este caso $f(x,y)=2x(1-y)$. Ahora se construirá una solución de forma iterativa según la expresión dada anteriormente.

Definimos $y_0(t)\equiv 2$ y las iteraciones sucesivas son:

$y_1(x)=y_0+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t,y_0(t))dt=2+\underset{0}{\overset{x}{\int }}2t(1-2)dt=2+\underset{0}{\overset{x}{\int }}-2t=2-x^2$,

$y_2(x)=y_0+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t,y_1(t))dt=2+\underset{0}{\overset{x}{\int }}2t(1-(2-t^2))dt=2-x^2+\frac{1}{2}{x}^4$,

$y_3(x)=y_0+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t,y_2(t))dt=...=2-x^2+\frac{1}{2}{x}^4-\frac{1}{6}{x}^6$,

y, de forma general, podemos expresar $y_n(x)$ de la siguiente forma:

$y_n(x)=1+(1+\frac{(-x^2)}{1!}+\frac{(-x^2{)}^2}{2!}+\frac{(-x^2{)}^3}{3!}+\frac{(-x^2{)}^4}{4!}+\frac{(-x^2{)}^5}{5!}+...+\frac{(-x^2{)}^n}{n!})$.

Se puede observar que las aproximaciones son las sumas parciales del desarrollo en serie de potencias de $1+e^{-x^2}$, que es la solución al problema de Cauchy anterior.

Referencias

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. M.L.Krasnov, A.I.Kiseliov, G.I.Makárenko. Editorial URSS. ISBN 5-354-01099-3