Módulo dinámico (viscoelasticidad)

En viscoelasticidad, el módulo dinámico o módulo complejo ) es una función que define la relación entre la tensión y la deformación en condiciones vibratorias u oscilatorias. Usualmente, se calcula a partir de los datos obtenidos en ensayos de vibración libre o forzada, en cizalladura, compresión o alargamiento. Es una propiedad de los materiales viscoelásticos lineales.

Retardo de fase de la tensión frente a la deformación viscoelásticas

La viscoelasticidad lineal emplea un tipo de análisis dinámico para analizar el efecto de una fuerza oscilante, que porduce tensiones en un material, y se mide el desplazamiento resultante, de donde se deduce igualmente la deformación.

• En los materiales puramente elástica la tensión y la deformación se producen en fase, de modo que la respuesta de una se produce simultáneamente con la otra.

• En los materiales puramente viscosos, existe una diferencia de fase entre la tensión y la deformación, en la que la deformación se retrasa con respecto a la tensión en un desfase de 90 grados ($\pi /2$).
• Los materiales viscoelásticos tienen un comportamiento intermedio entre los materiales puramente viscosos y los puramente elásticos, y presentan cierto desfase en la deformación.

La tensión y la deformación en un material viscoelástico sometido a una solicitación cíclica pueden representarse mediante las siguientes expresiones:

• Deformación: $\epsilon ={\epsilon }_0\sin (\omega t)$
• Esfuerzo: $\sigma ={\sigma }_0\sin (\omega t+\delta )$

donde

$\omega =2\pi f$ donde $f$ es la frecuencia de oscilación de la deformación,

$t$ es el tiempo,

$\delta$ es el desfase entre la tensión y la deformación.

El módulo de relajación de tensiones $G\left(t\right)$ es la relación de la tensión restante en el tiempo $t$ después de que se haya aplicado una tensión escalonada $\epsilon$ en el tiempo $t=0$: Plantilla:Ecuación que es una generalización dependiente del tiempo de la ley de Hooke para el comportamiento elástico. Para los sólidos viscoelásticos, $G\left(t\right)$ converge al módulo de corte de equilibrio$G$:

Plantilla:Ecuación La transformada de Fourier del módulo de relajación en cizalladura $G(t)$ es $\hat{G}(\omega )={\hat{G}}^{\prime }(\omega )+i{\hat{G}}^{″}(\omega )$.

Módulos de almacenaje y de pérdida

Los módulos de almacenaje y de pérdida en materiales viscoelásticos miden la energía almacenada, que representa la parte elástica, y la energía disipada en forma de calor, que representa la parte viscosa. Los módulos de almacenaje y de pérdida en tracción se definen como sigue:

• Almacenaje: $E^{\prime }=\frac{{\sigma }_0}{{\epsilon }_0}\cos \delta$
• Pérdida: $E^{″}=\frac{{\sigma }_0}{{\epsilon }_0}\sin \delta$

De forma similar, también se definen los módulos de almacenaje y pérdida por cizallamiento, $G^{\prime }$ y $G^{″}$.

Se pueden utilizar variables complejas para expresar matemáticamente los módulos anteriores, en particular se definen los módulos complejos $E^{*}$ y $G^{*}$ de la siguiente manera:

$E^{*}=E^{\prime }+i{E}^{″}$

$G^{*}=G^{\prime }+i{G}^{″}$

donde $i=\sqrt{-1}$ es la unidad imaginaria.

Cociente entre el módulo de pérdida y el de almacenaje

El cociente entre el módulo de pérdida y el módulo de almacenaje en un material viscoelástico se define como $\tan \delta$ y proporciona una medida del amortiguamiento en el material. $\tan \delta$ también puede visualizarse como la tangente del ángulo de fase ($\delta$) entre el módulo de almacenaje y el módulo de pérdida.

Tracción: $\tan \delta =\frac{E^{″}}{E^{\prime }}$

Cizalladura: $\tan \delta =\frac{G^{″}}{G^{\prime }}$

Para un material con un $\tan \delta$ mayor que 1, prevalece la componente viscosa de disipación de energía del módulo complejo.

Véase también

• Análisis dinámico
• Módulo elástico
• Ecuación de Palierne

Referencias

Bibliografía

• Macosko, C. W.Rheology principles, measurements, and applications, VCH Publ. Inc, 1994, New York.