Número metálico

Número de oro (primer rectángulo), número de plata (segundo rectángulo) y el número del bronce (tercer rectángulo).

En matemáticas los números metálicos son un conjunto de números que reciben nombres especiales relacionados con diferentes metales. Se obtienen a partir de la ecuación de segundo grado:Plantilla:Harvnp

donde n es un número natural.

Los números metálicos más conocidos son el número de oro ($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$), el número de plata ($1+\sqrt{2}$) y el número de bronce ($\frac{3+\sqrt{13}}{2}$) que verifican la siguiente fracción continua:Plantilla:HarvnpPlantilla:Ecuación

con n igual a 1, 2 y 3 respectivamente.

Tabla 1

Valor de los números metálicos

Nombre	n	Valor aproximado	Valor exacto
Oro	1	1,618033989...	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Plata	2	2,414213562...	$1+\sqrt{2}$
Bronce	3	3,302775638...	$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$
Cobre	4	4,236067978...	$2+\sqrt{5}$
Níquel	5	5,192582404...	$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$

Historia

Los más conocidos, se han utilizado desde los albores de la aritmética; los más populares, por ejemplo el número áureo, han sido estudiados de manera exhaustiva. Corresponde el mérito de la sistematización, estudio y divulgación de estos números a la matemática argentina Vera de Spinadel (1929-2017).

Denominación y generación

Los números metálicos pueden ser generados por tres diferentes métodos:

Ecuación cuadrática

La solución general de la ecuación de segundo grado se expresa por:

$x=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$

que para el rango inferior de n proporciona los valores que se muestran en la Tabla 1.

Fracción continua

La ecuación general puede ser reordenada en la forma:

$x=n+\frac{1}{x}$

Sustituyendo la expresión de la variable en el denominador:

$x=n+\frac{1}{n+\frac{1}{x}}$

operación que puede continuarse hasta el infinito, resultando la expresión general de la fracción continua.

Límite de serie

Se denomina sucesión de Fibonacci secundaria a la serie infinita construida según el siguiente criterio:

$G(n+2)=G(n+1)+G(n)$

El límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos:

$\frac{G(n)}{G(n-1)}$

es, precisamente, el número áureo.

Generalizando el anterior resultado se ha denominado "sucesión de Fibonacci secundaria generalizada" a la formada según la recurrencia:

$G(n+2)=nG(n+1)+G(n)$

cuyos límites entre dos términos consecutivos tienden a los correspondientes "números metálicos" con idéntico valor de n.

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• La familia de números metálicos (Vera W. de Spinadel) (pdf)