Número primo de Higgs
Un número primo de Higgs,[1] denominado así en referencia a Denis Higgs (1932-2011), es un número primo con un totiente (el propio número primo menos uno) que divide uniformemente el cuadrado del producto de los primos de Higgs más pequeños (este criterio se puede generalizar a cubos, cuartas potencias, o a cualquier potencia entera mayor). Para expresarlo algebraicamente, dado un exponente a, un primo de Higgs Hpn satisface que
donde Φ(x) es la función φ de Euler.
Para los cuadrados, los primeros primos de Higgs son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, ... Plantilla:OEIS. Entonces, por ejemplo, 13 es un primo de Higgs porque el cuadrado del producto de los primos de Higgs más pequeños es 5336100, y dividido por 12 es 444675. Pero 17 no es un primo de Higgs porque el cuadrado del producto de los primos más pequeños es 901800900, que deja un resto de 4 al dividirlo por 16.
A partir de la observación de los primeros números primos de Higgs para cuadrados hasta séptimas potencias, parecería más compacto enumerar aquellos números primos que no son números primos de Higgs:
| Exponente | 75 primo de Higgs | No primos de Higgs por debajo del primo de Higgs 75 |
|---|---|---|
| 2 | 797 | 17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773 |
| 3 | 509 | 17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487 |
| 4 | 409 | 97, 193, 257, 353, 389 |
| 5 | 389 | 193, 257 |
| 6 | 383 | 257 |
| 7 | 383 | 257 |
La observación revela además que un número de Fermat (de la forma ) no puede ser un primo de Higgs para la a-ésima potencia si a es menor que 2n.
No se sabe si hay infinitos números primos de Higgs para cualquier exponente a mayor que 1. La situación es bastante diferente para a = 1. Solo hay cuatro: 2, 3, 7 y 43 (una secuencia sospechosamente similar a la sucesión de Sylvester).Plantilla:Harvtxt descubrieron que alrededor de una quinta parte de los números primos por debajo de un millón son números primos de Higgs y concluyeron que incluso si la secuencia de números primos de Higgs para los cuadrados es finita, "una enumeración por computadora no es factible".