Número primo de Williams

En teoría de números, un número de Williams en base b es un número natural de la forma $(b-1)\cdot b^n-1$ para dos enteros b ≥ 2 y n ≥ 1. Los números de Williams de base 2 son exactamente los números primos de Mersenne.

Primo de Williams

Un primo de Williams es un número de Williams que es primo. Fueron estudiados por Hugh C. Williams.

Los menores n ≥ 1 tales que (b−1)·bⁿ − 1 es primo son: (se empieza con b = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133 , 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1 , 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7 , 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, . ..

b	Números n ≥ 1 tales que (b−1)×bn−1 es primo (estos n se han comprobado hasta 25000)	Secuencia OEIS
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, ...	Plantilla:OEIS
3	1, 2, 3, 7, 8, 12, 20, 23, 27, 35, 56, 62, 68, 131, 222, 384, 387, 579, 644, 1772, 3751, 5270, 6335, 8544, 9204, 12312, 18806, 21114, 49340, 75551, 90012, 128295, 143552, 147488, 1010743, 1063844, 1360104, ...	Plantilla:OEIS
4	1, 2, 3, 9, 17, 19, 32, 38, 47, 103, 108, 153, 162, 229, 235, 637, 1638, 2102, 2567, 6338, 7449, 12845, 20814, 40165, 61815, 77965, 117380, 207420, 351019, 496350, 600523, 1156367, 2117707, 5742009, 5865925, 5947859, ...	Plantilla:OEIS
5	1, 3, 9, 13, 15, 25, 39, 69, 165, 171, 209, 339, 2033, 6583, 15393, 282989, 498483, 504221, 754611, 864751, ...	Plantilla:OEIS
6	1, 2, 6, 7, 11, 23, 33, 48, 68, 79, 116, 151, 205, 1016, 1332, 1448, 3481, 3566, 3665, 11233, 13363, 29166, 44358, 58530, 191706, ...	Plantilla:OEIS
7	1, 2, 7, 18, 55, 69, 87, 119, 141, 189, 249, 354, 1586, 2135, 2865, 2930, 4214, 7167, 67485, 74402, 79326, ...	Plantilla:OEIS
8	3, 7, 15, 59, 6127, 8703, 11619, 23403, 124299, ...	Plantilla:OEIS
9	1, 2, 5, 25, 85, 92, 97, 649, 2017, 2978, 3577, 4985, 17978, 21365, 66002, 95305, 142199, ...	Plantilla:OEIS
10	1, 3, 7, 19, 29, 37, 93, 935, 8415, 9631, 11143, 41475, 41917, 48051, 107663, 212903, 223871, 260253, 364521, 383643, 1009567, ...	Plantilla:OEIS
11	1, 3, 37, 119, 255, 355, 371, 497, 1759, 34863, 50719, 147709, 263893, ...	Plantilla:OEIS
12	1, 2, 21, 25, 33, 54, 78, 235, 1566, 2273, 2310, 4121, 7775, 42249, 105974, 138961, ...	Plantilla:OEIS
13	2, 7, 11, 36, 164, 216, 302, 311, 455, 738, 1107, 2244, 3326, 4878, 8067, 46466, ...	Plantilla:OEIS
14	1, 3, 5, 27, 35, 165, 209, 2351, 11277, 21807, 25453, 52443, ...	Plantilla:OEIS
15	14, 33, 43, 20885, ...
16	1, 20, 29, 43, 56, 251, 25985, 27031, 142195, 164066, ...
17	1, 3, 71, 139, 265, 793, 1729, 18069, ...
18	2, 6, 26, 79, 91, 96, 416, 554, 1910, 4968, ...
19	6, 9, 20, 43, 174, 273, 428, 1388, ...
20	1, 219, 223, 3659, ...
21	1, 2, 7, 24, 31, 60, 230, 307, 750, 1131, 1665, 1827, 8673, ...
22	1, 2, 5, 19, 141, 302, 337, 4746, 5759, 16530, ...
23	55, 103, 115, 131, 535, 1183, 9683, ...
24	12, 18, 63, 153, 221, 1256, 13116, 15593, ...
25	1, 5, 7, 30, 75, 371, 383, 609, 819, 855, 7130, 7827, 9368, ...
26	133, 205, 215, 1649, ...
27	1, 3, 5, 13, 15, 31, 55, 151, 259, 479, 734, 1775, 2078, 6159, 6393, 9013, ...
28	20, 1091, 5747, 6770, ...
29	1, 7, 11, 57, 69, 235, 16487, ...
30	2, 83, 566, 938, 1934, 2323, 3032, 7889, 8353, 9899, 11785, ...

Plantilla:A fecha de, el mayor número de Williams en base 3 conocido es 2×3^1360104−1.

Generalización

Un número de Williams de segunda especie en base b es un número natural de la forma $(b-1)\cdot b^n+1$ para enteros b ≥ 2 y n ≥ 1, un primo de Williams de segunda especie es un número de Williams de segunda especie que es primo. Los primos de Williams de segunda especie en base 2 son exactamente los números de Fermat.

Los menores números n ≥ 1 tales que (b−1)·bⁿ + 1 es primo son: (empezar con b = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2 , 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1 , 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1 , 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, . .. Plantilla:OEIS

b	Números n ≥ 1 tales que (b−1)×bn+1 es primo (estos n se han comprobado hasta 25000)	Secuencia OEIS
2	1, 2, 4, 8, 16, ...
3	1, 2, 4, 5, 6, 9, 16, 17, 30, 54, 57, 60, 65, 132, 180, 320, 696, 782, 822, 897, 1252, 1454, 4217, 5480, 6225, 7842, 12096, 13782, 17720, 43956, 64822, 82780, 105106, 152529, 165896, 191814, 529680, 1074726, 1086112, 1175232, ...	Plantilla:OEIS
4	1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, 1104, 1408, 1584, 1956, 17175, 21147, 24075, 27396, 27591, 40095, 354984, 400989, 916248, 1145805, 2541153, 5414673, ...	Plantilla:OEIS
5	2, 6, 18, 50, 290, 2582, 20462, 23870, 26342, 31938, 38122, 65034, 70130, 245538, ...	Plantilla:OEIS
6	1, 2, 4, 17, 136, 147, 203, 590, 754, 964, 970, 1847, 2031, 2727, 2871, 5442, 7035, 7266, 11230, 23307, 27795, 34152, 42614, 127206, 133086, ...	Plantilla:OEIS
7	1, 4, 9, 99, 412, 2633, 5093, 5632, 28233, 36780, 47084, 53572, ...	Plantilla:OEIS
8	2, 40, 58, 60, 130, 144, 752, 7462, 18162, 69028, 187272, 268178, 270410, 497284, 713304, 722600, 1005254, ...	Plantilla:OEIS
9	1, 4, 5, 11, 26, 29, 38, 65, 166, 490, 641, 2300, 9440, 44741, 65296, 161930, ...	Plantilla:OEIS
10	3, 4, 5, 9, 22, 27, 36, 57, 62, 78, 201, 537, 696, 790, 905, 1038, 66886, 70500, 91836, 100613, 127240, ...	Plantilla:OEIS
11	10, 24, 864, 2440, 9438, 68272, 148602, ...	Plantilla:OEIS
12	3, 4, 35, 119, 476, 507, 6471, 13319, 31799, ...	Plantilla:OEIS
13	1, 2, 4, 21, 34, 48, 53, 160, 198, 417, 773, 1220, 5361, 6138, 15557, 18098, ...
14	2, 40, 402, 1070, 6840, ...
15	1, 3, 4, 9, 11, 14, 23, 122, 141, 591, 2115, 2398, 2783, 3692, 3748, 10996, 16504, ...
16	1, 3, 11, 12, 28, 42, 225, 702, 782, 972, 1701, 1848, 8556, 8565, 10847, 12111, 75122, 183600, 307400, 342107, 416936, ...
17	4, 20, 320, 736, 2388, 3344, 8140, ...
18	1, 6, 9, 12, 22, 30, 102, 154, 600, ...
19	29, 32, 59, 65, 303, 1697, 5358, 9048, ...
20	14, 18, 20, 38, 108, 150, 640, 8244, ...
21	1, 2, 3, 4, 12, 17, 38, 54, 56, 123, 165, 876, 1110, 1178, 2465, 3738, 7092, 8756, 15537, 19254, 24712, ...
22	1, 9, 53, 261, 1491, 2120, 2592, 6665, 9460, 15412, 24449, ...
23	14, 62, 84, 8322, 9396, 10496, 24936, ...
24	2, 4, 9, 42, 47, 54, 89, 102, 118, 269, 273, 316, 698, 1872, 2126, 22272, ...
25	1, 4, 162, 1359, 2620, ...
26	2, 18, 100, 1178, 1196, 16644, ...
27	4, 5, 167, 408, 416, 701, 707, 1811, 3268, 3508, 7020, 7623, 16449, ...
28	1, 2, 136, 154, 524, 1234, 2150, 2368, 7222, 10082, 14510, 16928, ...
29	2, 4, 6, 44, 334, 24714, ...
30	4, 5, 9, 18, 71, 124, 165, 172, 888, 2218, 3852, 17871, 23262, ...

Plantilla:A fecha de, el número primo de Williams de segunda especie en base 3 más grande conocido es 2×3^1175232+1.

Un número de Williams de tercera especie en base b es un número natural de la forma $(b+1)\cdot b^n-1$ para enteros b ≥ 2 y n ≥ 1, el número de Williams de la tercera especie en base 2 son exactamente los números de Thabit. Un número de Williams primo de tercera especie es un número de Williams de tercera especie que es primo.

Un número de Williams de cuarta especie en base b es un número natural de la forma $(b+1)\cdot b^n+1$ para enteros b ≥ 2 y n ≥ 1, un primo de Williams de cuarta especie es un número de Williams de cuarta especie que es primo. Tales primos no existen para $b\equiv 1mod3$.

b	Números n tales que $(b+1)\cdot b^n-1$ es primo	Números n tales que $(b+1)\cdot b^n+1$ es primo
2	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS
3	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS
5	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS
10	Plantilla:OEIS	(no existe)

Se conjetura que por cada b ≥ 2, hay infinitos primos de Williams de primera especie (los primos de Williams originales) en base b, infinitos primos de Williams de segunda especie en base b, e infinitos números primos de Williams de tercera especie en base b. Además, si b no es = 1 mod 3, entonces hay infinitos primos de Williams de cuarta especie en base b.

Forma dual

Si se hace que n tome valores negativos y se elige el numerador de las fracciones, entonces se obtienen estos números:

Números duales de Williams de primera especie en base b: números de la forma $b^n-(b-1)$ con b ≥ 2 y n ≥ 1.

Números duales de Williams de segunda especie en base b: números de la forma $b^n+(b-1)$ con b ≥ 2 y n ≥ 1.

Números duales de Williams de tercera especie en base b: números de la forma $b^n-(b+1)$ con b ≥ 2 y n ≥ 1.

Números duales de Williams de cuarta especie en base b: números de la forma $b^n+(b+1)$ con b ≥ 2 y n ≥ 1 (no existen cuando b = 1 módulo 3)

A diferencia de los primos de Williams originales de cada especie, algunos primos de Williams duales grandes de cada especie son solo primos probables, ya que para estos primos N, ni N−1 ni N+1 pueden ser trivialmente escritos en forma de un producto.

b	Números n tales que $b^n-(b-1)$ es (probable) primo (primos de Williams duales de primera especie)	Números n tales que $b^n+(b-1)$ es (probable) primo (primos de Williams duales de segunda especie)	Números n tales que $b^n-(b+1)$ es (probable) primo (primos de Williams duales de tercera especie)	Números n tales que $b^n+(b+1)$ es (probable) primo (primos de Williams duales de cuarta especie)
2	Plantilla:OEIS	(see Número de Fermat)	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS
3	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS
4	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	(no existe)
5	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS
6	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS
7	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	(no existe)
8	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS
9	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS
10	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	Plantilla:OEIS	(no existe)

(para los primos duales de Williams más pequeños de los tipos 1, 2 y 3 en base b, consúltese Plantilla:OEIS, Plantilla:OEIS y Plantilla:OEIS)

Se conjetura que por cada b ≥ 2, hay infinitos primos de Williams duales de primera especie (los primos de Williams originales) en base b, infinitos primos de Williams duales de segunda especie en base b, e infinitos primos duales de Williams en base b de tercera especie. Además, si b no es = 1 mod 3, entonces hay infinitos primos duales de Williams de cuarta especie en base b.

Véase también

• Número de Thabit, que es exactamente el número de Williams de tercera especie en base 2

Enlaces externos

• La primalidad de ciertos números enteros de la forma 2Arⁿ − 1
• Algunos números primos de las formas 2·3ⁿ + 1 y 2·3ⁿ − 1
• Chris Caldwell, La base de datos de números primos más grande conocida en The Prime Pages
• Una prima de Williams de primer tipo base 2: (2−1)·2^74207281 − 1
• Una prima de Williams de primera especie en base 3: (3−1)·3^1360104 − 1
• Una prima de Williams de segunda especie en base 3: (3−1)·3^1175232 + 1
• Una prima de Williams de primera especie en base 10: (10−1)·10³⁸³⁶⁴³ − 1
• Williams Prime de la primera base de tipo 113: (113-1) · 113²⁸⁶⁶⁴³X - 1
• Williams Prime en Primewiki