Operación externa

Árbol de clasificación

Se dice que una operación matemática es una operación externa en una operación binaria si la aplicación entre los conjuntos es de la forma:

1. $\star :B\times A\to A$, ley de composición externa a la izquierda
2. $\star :A\times B\to A$, ley de composición externa a la derecha
3. $\star :A\times A\to B$
4. $\star :A\times B\to C$,

siendo $\star$ la operación binaria, que representamos:

$a\star b\to c,\star (a,b)\to c,(a,b)\stackrel{\star }{\to }c$

por oposición a la forma de la aplicación:

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

Donde a cada par ordenado (a,b) le corresponde un c, siendo a, b y c elementos de A. Que se denomina Operación interna o ley de composición interna.

Primer caso

Dada una Operación binaria de la forma:

$\begin{array}{cccc}\star :& B\times A& ⟶& A\\ & (k,a)& ⟼& b=k\star a\end{array}$

donde a cada par ordenado:

$(k,a)\in B\times A$

se le asocia un elemento

$b\in A$

En este caso se denomina ley de composición externa a la izquierda; los elementos de B, son para los elementos de A,operadores o multiplicadores a la izquierda.

Ejemplo

Tomando el conjunto R de números reales, y el conjunto V3 de los vectores de tres dimensiones, y la operación del producto de un escalar por un vector:

$\begin{array}{cccc}\cdot :& ℝ\times V_3& ⟶& V_3\\ & (k,\overrightarrow{a})& ⟼& \overrightarrow{b}=k\cdot \overrightarrow{a}\end{array}$

donde un vector:

$\overrightarrow{a}=(x,y,z)$

multiplicado por un escalar k de R:

$\overrightarrow{b}=k\cdot \overrightarrow{a}=k\cdot (x,y,z)=(kx,ky,kz)$

Tercer caso

Dada una operación binaria de la forma:

$\begin{array}{cccc}\star :& A\times A& ⟶& B\\ & (a,b)& ⟼& c=a\star b\end{array}$

donde a cada par ordenado:

$(a,b)\in A^2$

le corresponde un elemento:

$c\in B$

también es una operación externa.

Ejemplo

Dado el conjunto V3 de vectores en el espacio y el conjunto R de números reales, y la aplicación Producto escalar de vectores:

$\begin{array}{cccc}\circ :& V_3\times V_3& ⟶& ℝ\\ & (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})& ⟼& c=\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}\end{array}$

Cuya operación representamos:

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=c$

dados los vectores:

$\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)$

$\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)$

el producto escalar de los dos vectores es:

$c=\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=(a_x,a_y,a_z)\circ (b_x,b_y,b_z)=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z$

que es un valor real.

La diferencia de números naturales es una operación externa, dado que los operandos naturales el resultado siempre será un entero.

$\begin{array}{cccc}-:& \mathbb{N}\times \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & (a,b)& ⟼& c=a-b\end{array}$

En la forma de la operación:

$c=a-b$

Para todo par ordenado (a,b) de números naturales, a su diferencia le corresponde un número c, entero, siendo c = a-b, es una aplicación matemática.

Véase también

• Operación matemática
• Relación matemática
• Correspondencia matemática

Enlaces externos

• PRODUCTO CARTESIANO
• www.escolar.com: Geometria 4
• www.escolar.com: Geometria 7
• Leyes de composición.pdf
• en:Binary operation#External binary operations

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