Polinomio simétrico

En matemáticas, un polinomio simétrico es un polinomio en n variables $P(X_1,X_2,...,X_n)$, tal que si intercambia alguna de las variables el polinomio sigue siendo el mismo.

Ejemplos

Los polinomios:

• $P(X_1,X_2)=X_1^3+X_2^3-7$
• $P(X_1,X_2)=4X_1{X}_2$
• $P(X_1,X_2,X_3)=X_1{X}_2{X}_3-2X_1{X}_2-2X_1{X}_3-2X_2{X}_3$

son todos simétricos. El polinomio $P(X_1,X_2)=X_1-X_2$ no es simétrico, ya que si intercambiamos $X_1$ y $X_2$ obtenemos el polinomio $X_2-X_1$, que no es el mismo.

Los ladrillos constituyentes de los polinomios simétricos

Para cada n, existen n+1 polinomios simétricos elementales en las variables $X_1,X_2,...,X_n$. Son los ladrillos constituyentes para todos los polinomios simétricos en dichas variables, lo que quiere decir que todo polinomio simétrico en n variables puede obtenerse a partir de estos polinomios elementales mediante multiplicaciones y sumas. Más concretamente: cualquier polinomio simétrico en n variables es un polinomio de los n polinomios elementales simétricos en dichas variables. Por ejemplo, para n=2, sólo hay dos polinomios simétricos elementales, $X_1+X_2$ y $X_1{X}_2$. El primer polinomio de la lista de arriba puede entonces escribirse como sigue:

$P(X_1,X_2)=X_1^3+X_2^3-7=(X_1+X_2{)}^3-3X_1{X}_2(X_1+X_2)-7.$

Véase también

• Función simétrica - este término es empleado a veces para referirse a los polinomios simétricos.