Purificación de estados cuánticos

En mecánica cuántica, especialmente en el campo de la información cuántica, la purificación se refiere al hecho que cada estado mixto actuando en un espacio de Hilbert de dimensión finita puede ser visto como el estado reducido de algún estado puro.

En términos puramente algebraicos, esto puede ser considerado como una proposición de las matrices semidefinidas positivas .

Proposición

Sea $\rho$ una matriz densidad que actúa en un espacio de Hilbert $H_A$ de dimensión finita $n$. Entonces existe un espacio de Hilbert $H_B$ espacio y un estado puro $|\psi ⟩\in H_A\otimes H_B$ tal que la traza parcial de $|\psi ⟩⟨\psi |$ con respecto a $H_B$ es

$\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}(|\psi ⟩⟨\psi |)=\rho .$

Se dice que $|\psi ⟩$ es la purificación de $\rho$.

Demostración

Una matriz densidad es por definición semidefinida positiva. Así que $\rho$ puede ser diagonalizada y escrita como $\rho =\sum _{i=1}^n{p}_i|i⟩⟨i|$ en alguna base $\{|i⟩\}$. Sea $H_B$ otra copia del espacio de Hilbert $n$-dimensional con una base ortonormal $\{|i^{\prime }⟩\}$. Se define $|\psi ⟩\in H_A\otimes H_B$ por

$|\psi ⟩=\sum _i\sqrt{p_i}|i⟩\otimes |i^{\prime }⟩.$

Un cálculo directo da

$\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}(|\psi ⟩⟨\psi |)=\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}\left[(\sum _i\sqrt{p_i}|i⟩\otimes |i^{\prime }⟩)(\sum _j\sqrt{p_j}⟨j|\otimes ⟨j^{\prime }|)\right]$

$=\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}(\sum _{i,j}\sqrt{p_i{p}_j}|i⟩⟨j|\otimes |i^{\prime }⟩⟨j^{\prime }|)=\sum _{i,j}{\delta }_{ij}\sqrt{p_i{p}_j}|i⟩⟨j|=\rho .$

Esto prueba la proposición.

Notas

• El estado puro $|\psi ⟩$ está en la forma especificada por la descomposición de Schmidt.

• Dado que la raíz cuadrada de una matriz semidefinida positiva no es única, tampoco lo es su purificación.

• En términos algebraicos, una matriz cuadrada es semidefinida positiva si y solo si se puede purificar en el sentido expuesto arriba. El si la parte de la implicación se sigue inmediatamente del hecho que la traza parcial de una aplicación positiva es otra aplicación positiva (por el teorema de Choi).