Radical de un álgebra de Lie

En la teoría matemática de álgebras de Lie, el radical de un álgebra de Lie $𝔤$ es el mayor ideal soluble de $𝔤.$

El radical, denotado como $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)$, se ajusta a la sucesión exacta

$0\to \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)\to 𝔤\to 𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)\to 0$

donde $𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)$ es un álgebra de Lie semisimple. Cuando el cuerpo base tiene característica cero y $𝔤$ tiene dimensión finita, el teorema de Levi afirma que esta sucesión exacta es divisible; es decir, existe una subálgebra (necesariamente semisimple) de $𝔤$ que es isomorfa al cociente semisimple $𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)$ a través de la restricción del mapa del cociente $𝔤a𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤).$. Una noción similar es la de subálgebra de Borel, que es una subálgebra (no necesariamente única) maximalmente soluble.

Definición

Sea $𝕂$ un cuerpo algebraico y sea $𝔤$ un álgebra de Lie de dimensión finita sobre $𝕂$, entonces existe un único ideal soluble máximo, llamado radical, por la siguiente razón:

En primer lugar, sean $𝔞$ y $𝔟$ dos ideales solubles de $𝔤$. Entonces $𝔞+𝔟$ es de nuevo un ideal de $𝔤$, y es soluble porque es una extensión de $(𝔞+𝔟)/𝔞\simeq 𝔟/(𝔞\cap 𝔟)$ por $𝔞$. Consideremos ahora la suma de todos los ideales solubles de $𝔤$. Es no vacía ya que $\{0\}$ es un ideal soluble, y es un ideal soluble por la propiedad de la suma que acabamos de derivar. Es evidente que es el único ideal soluble máximo.

Conceptos relacionados

• Un álgebra de Lie es semisimple si y sólo si su radical es $0$.
• Un álgebra de Lie es reductora si y sólo si su radical es igual a su centro.

Véase también

• Descomposición de Levi