Serie telescópica

En matemáticas, una serie telescópica es aquella serie cuyas sumas parciales poseen un número fijo de términos tras su cancelación.

$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\dots +(a_n-a_{n-1})=a_n-a_1$

Un ejemplo típico de serie telescópica es la serie de Mengoli, que se define

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$

y puede calcularse según

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1})\right]\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{N}+\frac{1}{N})-\frac{1}{N+1}\right]\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[1-\frac{1}{N+1}\right]=1.\end{array}$

En general

Sea $a_n$ una secuencia de números. Entonces,

$\sum _{n=1}^N(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{N+1},$

y, si $a_{N+1}\to 0$,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-a_{n+1})=a_1.$

Excepciones

Aunque las series telescópicas pueden resultar una técnica útil, hay algunos inconvenientes con los que cabe contar. El procedimiento

$0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1=0$

no es correcto porque esta forma de reagrupar los términos solo es válida si los términos por separado convergen a 0. El modo de evitar este error es, en primer lugar, encontrar la suma de los N primeros términos y, en segundo lugar, aplicar el límite con N aproximándose al infinito.

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1})\\ & =1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{N}+\frac{1}{N})-\frac{1}{N+1}\\ & =1-\frac{1}{N+1}\to 1\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}N\to \mathrm{\infty }.\end{array}$

Ejemplos

• Muchas funciones trigonométricas pueden representarse como una diferencia, lo que permite la cancelación entre términos consecutivos en la serie telescópica.

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^N\mathrm{sen}\left(n\right)& =\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}\csc \left(\frac{1}{2}\right)(2\mathrm{sen}\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{sen}\left(n\right))\\ & =\frac{1}{2}\csc \left(\frac{1}{2}\right)\sum _{n=1}^N(\cos \left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2n+1}{2}\right))\\ & =\frac{1}{2}\csc \left(\frac{1}{2}\right)(\cos \left(\frac{1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2N+1}{2}\right)).\end{array}$

• Algunas sumas de la forma

$\sum _{n=1}^N\frac{f(n)}{g(n)},$

donde f y g son funciones polinómicas cuyo cociente puede separarse en fracciones parciales, no admiten sumar por este método. En particular, se tiene

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\ & =(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\cdots \\ & \cdots +(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})+\cdots \\ & =\mathrm{\infty }.\end{array}$

El problema está en que los términos no se cancelan.

• Sea k un entero positivo. Entonces,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+k)}=\frac{H_k}{k},$

donde H_k es el k-ésimo número armónico. Todos los términos después de 1/(k − 1) se cancelan.

Véase también

• Serie de Grandi
• Serie de los inversos de los números primos
• Teorema del punto fijo de Lefschetz
• Homología (matemática)
• Teorema fundamental del cálculo