Símbolo de Pochhammer

Sean z un número complejo y n un número entero, el símbolo de Pochhammer está definido por

$(z{)}_n=z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1);(z{)}_0=1.$

Si z y z+n no son enteros negativos, entonces

$(z{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+n)}{\mathrm{\Gamma }(z)},$

donde $\mathrm{\Gamma }$ es la función gamma.

Los símbolos de Pochhammer aparecen en la expansión en series de funciones especiales.

Propiedades

Algunas de las propiedades de los símbolos de Pochhammer son las siguientes:

$(1{)}_n=n!\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}n\ge 0,$

$(z{)}_{n+m}=(z{)}_n(z+n{)}_m,$

$(-z{)}_n=(-1{)}^n(z-n+1{)}_n,$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=(-1{)}^n\frac{(-z{)}_n}{n!}.$

Aplicaciones

Como se mencionó más arriba, los símbolos de Pochhammer se usan en la expansión en series de potencia de funciones. He aquí un par de ejemplos:

1. El teorema del binomio de Newton puede expresarse:

   $(1-t{)}^z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-z{)}_k}{k!}{t}^k|t|<1$

2. La función hipergeométrica se puede expresar como:

   ${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k(b{)}_k}{(c{)}_k}\frac{z^k}{k!}$

Notas y referencias

• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld