Tensor de energía-impulso electromagnético

En física relativista, el tensor de energía-impulso electromagnético es la contribución al tensor de energía-impulso debido al campo electromagnético. El tensor describe el flujo de energía y momento electromagnético en espacio-tiempo. En particular, este tensor contiene el tensor de tensión de Maxwell clásico que gobierna las interacciones electromagnéticas.

Definición

Unidades SI

En espacio plano las unidades del tensor son:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

Dónde $F^{\mu \nu }$ es el tensor electromagnético y donde ${\eta }_{\mu \nu }$ es el tensor métrico de Minkowski de firma métrica (−+++). Cuándo se utiliza la métrica con firma (+−−−), la expresión para $T^{\mu \nu }$ tendrá signo opuesto.

Explícitamente en forma matricial:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)& S_{\text{x}}/c& S_{\text{y}}/c& S_{\text{z}}/c\\ S_{\text{x}}/c& -{\sigma }_{xx}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ S_{\text{y}}/c& -{\sigma }_{yx}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ S_{\text{z}}/c& -{\sigma }_{zx}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right],$

Dónde

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁,$

Es el vector de Poynting,

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2){\delta }_{ij}$

Es el tensor de tensión de Maxwell, y c es la velocidad de la luz. Así, $T^{\mu \nu }$ está expresado y medido en SI unidades de presión (pascales).

Unidades CGS

La permitividad eléctrica y permeabilidad magnética del espacio libres en las unidades CGS-Gaussianas son

${ϵ}_0=\frac{1}{4\pi },{\mu }_0=4\pi$

Por tanto:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{4\pi }[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

Y en forma matricial explícita:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)& S_{\text{x}}/c& S_{\text{y}}/c& S_{\text{z}}/c\\ S_x/c& -{\sigma }_{\text{xx}}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ S_{\text{y}}/c& -{\sigma }_{\text{yx}}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ S_{\text{z}}/c& -{\sigma }_{\text{zx}}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right]$

Dónde el vector de Poynting  se expresa como:

$𝐒=\frac{c}{4\pi }𝐄\times 𝐁.$

El tensor de energía–impulso para un campo electromagnético en un medio dieléctrico es menos bien entendido y es el tema de la controversia Abraham–Minkowski todavía irresoluta.

El elemento $T^{\mu \nu }$ del tensor de impulso-energía representa el flujo del μ-ésimo componente del cuatro-momento del campo electromagnético, $P^{\mu }$, pasando por un hiperplano ($x^{\nu }$ es constante). Representa la contribución de electromagnetismo a la fuente del campo gravitacional (curvatura de espacio–tiempo) en la relatividad general.

Propiedades algebraicas

El tensor de energía-impulso electromagnético tiene varias propiedades algebraicas:

• Es un tensor simétrico:

$T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }$

• El tensor $T^{\nu }{}_{\alpha }$ es de traza cero: :$T^{\alpha }{}_{\alpha }=0$.

• La densidad de energía está definida positivamente:

$T^{00}\ge 0$

La simetría del tensor es común a cualquier tensor de impulso-energía de la relatividad general, la traza cero se debe a que el fotón carece de masa.

Leyes de conservación

El tensor de energía-impulso permite escribir de una manera compacta las leyes de conservación de energía y momento. La divergencia del tensor de energía-impulso electromagnético es:

${\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }+{\eta }^{\mu \rho }{f}_{\rho }=0$

Dónde $f_{\rho }$ es la (4D) Fuerza de Lorentz por unidad de volumen 

Esta ecuación es equivalente a las siguientes leyes de conservación en 4D:

$\frac{\partial u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+𝐉\cdot 𝐄=0$

$\frac{\partial {𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot \sigma +\rho 𝐄+𝐉\times 𝐁=0$ (or equivalently $𝐟+{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐒}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }$ with $𝐟$ siendo f la densidad de fuerza del Lorentz).

Siendo la densidad de energía electromagnética:

$u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{{ϵ}_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$

Y la densidad de momento electromagnético:

${𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{𝐒}{c^2}$

Dónde J es la densidad actual eléctrica y ρ la densidad de carga eléctrica.

Transformación de la densidad de energía y momento electromagnéticos

Sea $𝐓=T^{0\nu }$ el cuatro-vector con la densidad de energía y momento electromagnético medido desde el sistema de referencia A, desde el que medimos el campo electromagnético, la 4-energía medida desde el sistema de referencia inercial B, que se mueve con velocidad v respecto a A, debe obtenerse como:

${𝐓}^{\prime }=T{\text{'}}^{0\nu }$ Siendo $T{\text{'}}^{0\nu }$ el tensor de energía-impulso electromagnético obtenido desde B tras hacer una transformación del campo electromagnético. Este valor no es equivalente a realizar un boost a T puesto que el elemento de volumen también dV se transformará.

Sea el cuatro vector de tiempo puro u=[1,0,0,0], este vector es perpendicular a la [hipersuperficie] que representa un volumen en el espacio tiempo, al transformar $𝐓dV$ debe transformarse no solo el tensor de impulso-energía sino también el vector perpendicular al elemento de volumen de manera que lo que se obtiene es que: $boost(𝐓)=boost(T^{\mu \nu })*boost(u)=T^{\mu \nu }{u}_{\mu }$

Entendiéndose por boost la función que transforma un cuatro-vector de un sistema de referencia a otro.

Véase también

• Cálculo de Ricci
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico
• Descripciones matemáticas del campo electromagnético
• Las ecuaciones de Maxwell
• Las ecuaciones de Maxwell en espacio-tiempo curvo
• Relatividad general
• Ecuaciones de campo del Einstein
• Magnetohidrodinámica
• Cálculo vectorial